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\begin{document}

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   \raggedleft
   {
   \scshape{\textbf{Université de Paris}} \par}
 \vspace{0.25cm}
 {\large École de Sciences Mathématiques Paris Centre (ED 386)}
 
 {Institut de Recherche Fondamentale en Informatique (IRIF)}
 %{\large Institut de Recherche Fondamentale en Informatique (IRIF)}

 \vspace*{0.25cm}

 {\Large
   \scshape
   \textbf{Thèse de doctorat en Mathématiques}}

      {\large Dirigée par François Métayer \\
        et par Clemens Berger \par}

      \vspace*{1.25cm}
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      \centering
        {\Huge \scshape \textbf{Homology of strict $\omega$-categories}\par}

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        % \LARGE
        % Thesis Subtitle
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        {\Large
          
        \textbf{par Léonard Guetta}}

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   \vfill 
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   {\slshape Présentée et soutenue publiquement le 28 janvier 2021 \\
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     devant un jury composé de : \par}
    \vspace{0.8cm}

 
    \begin{tabular}{ll}
      \textbf{M. Benoît Fresse} (Prof., Université de Lille) & Rapporteur \\
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      \textbf{M. Richard Garner} (Senior Lecturer, Macquarie University) & Rapporteur \\
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      \textbf{Mme Eugenia Cheng} (Prof., School of the Art Institute) & Examinatrice \\
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      \textbf{M. Carlos Simpson} (DR CNRS, Université de Nice) & Examinateur \\
92
      \textbf{M. Samuel Mimram} (Prof., École Polytechnique) & Examinateur \\
93
      \textbf{M. Georges Maltsiniotis} (DR CNRS, Université de Paris) & Examinateur \\
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      \textbf{M. François Métayer} (MCF, Université de Paris Nanterre) & Directeur de Thèse \\
      \textbf{M. Clemens Berger} (MCF, Université de Nice) & Co--directeur de Thèse \\
      \textbf{M. Dimitri Ara} (MCF, Université Aix-Marseille) & Membre invité 
      \end{tabular}
     
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\selectlanguage{french}
\begin{abstract}
Dans cette thèse, on compare l'homologie \og classique \fg{} d'une
$\oo$\nbd{}catégorie (définie comme l'homologie de son nerf de Street) avec
son homologie polygraphique. Plus précisément, on prouve que les deux
homologies ne coïncident pas en général et qualifions d'\emph{homologiquement
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  cohérentes} les $\oo$\nbd{}catégories particulières pour lesquelles l'homologie
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polygraphique coïncide effectivement avec l'homologie du nerf. Le but poursuivi
est de trouver des critères abstraits et concrets permettant de détecter les
$\oo$\nbd{}catégories homologiquement cohérentes. Par exemple, on démontre que
toutes les (petites) catégories, que l'on considère comme des
$\oo$\nbd{}catégories strictes dont toutes les cellules au-delà de la dimension
$1$ sont des unités, sont homologiquement cohérente. On introduit également la
notion de $2$\nbd{}catégorie \emph{sans bulles} et on conjecture qu'une
$2$\nbd{}catégorie cofibrante est homologiquement cohérente si et seulement si
elle est sans bulles. On démontre également des résultats importants concernant
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les $\oo$\nbd{}catégories strictes qui sont libres sur un polygraphe, comme
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le fait que si $F : C \to D$ est un $\oo$\nbd{}foncteur discret de Conduché et
si $D$ est libre sur un polygraphe alors $C$ l'est aussi. Dans son ensemble,
cette thèse établit un cadre général dans lequel étudier l'homologie des
$\oo$\nbd{}catégories en faisant appels à des outils d'algèbre homotopique
abstraite, tels que la théorie des catégorie de modèles de Quillen ou la théorie
des dérivateurs de Grothendieck.
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\noindent\textbf{Mots-clés : } Catégories supérieures, $\oo$\nbd{}catégories, homologie,
théorie de l'homotopie, polygraphes.
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\end{abstract}
\selectlanguage{english}
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\begin{abstract}
  In this dissertation, we compare the ``classical''
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  homology of an $\oo$\nbd{}category (defined as the homology of its Street
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  nerve) with its polygraphic homology. More precisely, we prove that both
  homologies generally do not coincide and call \emph{homologically coherent} the
  particular strict $\oo$\nbd{}categories for which polygraphic homology and
  homology of the nerve do coincide. The goal pursued is to find abstract
  and concrete criteria to detect homologically coherent $\oo$\nbd{}categories. For
  example, we prove that all (small) categories, considered as strict
  $\oo$\nbd{}categories with unit cells above dimension $1$, are homologically
  coherent. We also introduce the notion of \emph{bubble-free} $2$\nbd{}category
  and conjecture that a cofibrant $2$\nbd{}category is homologically
  coherent if and only if it is bubble-free.
  We also prove important results concerning free strict
  $\oo$\nbd{}categories on polygraphs (also known as computads), such as the
  fact that if $F : C \to D$ is a discrete Conduché $\oo$\nbd{}functor and $D$
  is a free strict $\oo$\nbd{}category on a polygraph, then so is $C$.
  Overall, this thesis achieves to build a general framework in which to study the
  homology of strict $\oo$\nbd{}categories using tools of abstract homotopical
  algebra such as Quillen's theory of model categories or Grothendieck's theory
  of derivators.
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\noindent\textbf{Keywords : } Higher categories, $\oo$\nbd{}categories, homology,
homotopy theory, polygraphs.
  
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  \end{abstract}
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\pagenumbering{roman}
\include{remerciements}
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\tableofcontents

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\fancyhead[RO]{INTRODUCTION}
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\addcontentsline{toc}{chapter}{Bibliography}
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\bibliographystyle{alpha}
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\bibliography{memoire}
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