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edited a lot of types in the french introduction

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...@@ -17,11 +17,11 @@ Avant d'entrer dans le vif du sujet, précisons sans plus tarder qu'à ...@@ -17,11 +17,11 @@ Avant d'entrer dans le vif du sujet, précisons sans plus tarder qu'à
l'unique exception de la toute fin de cette introduction, toutes les l'unique exception de la toute fin de cette introduction, toutes les
$\oo$\nbd{}catégories que nous considérerons sont des $\oo$\nbd{}catégories $\oo$\nbd{}catégories que nous considérerons sont des $\oo$\nbd{}catégories
\emph{strictes}. C'est pourquoi nous omettrons l'adjectif \og \emph{strictes}. C'est pourquoi nous omettrons l'adjectif \og
strict\fg{} et parlerons simplement d'\emph{$\oo$\nbd{}catégorie} plutôt strict\fg{} et parlerons simplement de \emph{$\oo$\nbd{}catégorie} plutôt
que d'\emph{$\oo$\nbd{}catégorie stricte}. De même, nous noterons $\oo\Cat$ plutôt que que de \emph{$\oo$\nbd{}catégorie stricte}. De même, nous noterons $\oo\Cat$ plutôt que
$\mathbf{Str}\oo\Cat$ pour la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes). $\mathbf{Str}\oo\Cat$ pour la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
\begin{named}[Le contexte : les $\oo$-categories en tant qu'espaces] La théorie \begin{named}[Le contexte : les $\oo$-categories en tant qu'espaces] L'étude de la théorie
de l'homotopie des $\oo$\nbd{}catégories commence avec le foncteur nerf de l'homotopie des $\oo$\nbd{}catégories commence avec le foncteur nerf
introduit par Street \cite{street1987algebra} introduit par Street \cite{street1987algebra}
\[ \[
...@@ -43,13 +43,13 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ pour la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes). ...@@ -43,13 +43,13 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ pour la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
$\ho(\oo\Cat^{\Th})$ est la localisation de $\oo\Cat$ relativement aux $\ho(\oo\Cat^{\Th})$ est la localisation de $\oo\Cat$ relativement aux
équivalences de Thomason et $\ho(\Psh{\Delta})$ est la localisation de équivalences de Thomason et $\ho(\Psh{\Delta})$ est la localisation de
$\Psh{\Delta}$ relativement aux équivalences faibles de Kan--Quillen d'ensembles $\Psh{\Delta}$ relativement aux équivalences faibles de Kan--Quillen d'ensembles
simpliciaux. Comme l'a démontré Gagna dans \cite{gagna2018strict}, ce dernier foncteur est en simpliciaux. Comme l'a démontré Gagna \cite{gagna2018strict}, ce dernier foncteur est en
fait une équivalence de catégories. Autrement dit, la théorie de l'homotopie fait une équivalence de catégories. Autrement dit, la théorie de l'homotopie
des $\oo$\nbd{}catégories induite par les équivalences de Thomason est la des $\oo$\nbd{}catégories induite par les équivalences de Thomason est la
même que la théorie de l'homotopie des espaces. Le résultat de Gagna est une même que la théorie de l'homotopie des espaces. Le résultat de Gagna est une
généralisation du résultat analogue pour le nerf usuel des petites catégories, généralisation du résultat analogue pour le nerf usuel des petites catégories,
attribué à Quillen dans \cite{illusie1972complexe}. Dans le cas des petites attribué à Quillen dans \cite{illusie1972complexe}. Dans le cas des petites
catégories, Thomason a même démontré l'existence d'une structure de modèle dont les équivalences catégories, Thomason a même démontré l'existence d'une structure de catégorie de modèles dont les équivalences
faibles sont celles induites par le nerf \cite{thomason1980cat}. Le résultat analogue pour $\oo\Cat$ est toujours une faibles sont celles induites par le nerf \cite{thomason1980cat}. Le résultat analogue pour $\oo\Cat$ est toujours une
conjecture \cite{ara2014vers}. conjecture \cite{ara2014vers}.
\end{named} \end{named}
...@@ -80,7 +80,7 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ pour la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes). ...@@ -80,7 +80,7 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ pour la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
satisfaisant des propriétés analogues à celles des fibrations triviales satisfaisant des propriétés analogues à celles des fibrations triviales
d'espaces topologiques (ou d'ensemples simpliciaux). De plus, toute d'espaces topologiques (ou d'ensemples simpliciaux). De plus, toute
$\oo$\nbd{}catégorie libre $P$ peut être \og abélianisée \fg{} en un complexe $\oo$\nbd{}catégorie libre $P$ peut être \og abélianisée \fg{} en un complexe
de chaîne $\lambda(P)$ et il a été démontré par Métayer que pour deux de chaînes $\lambda(P)$ et il a été démontré par Métayer que pour deux
résolutions polygraphiques $P \to C$ et $P' \to C$ d'une même résolutions polygraphiques $P \to C$ et $P' \to C$ d'une même
$\oo$\nbd{}catégorie, les complexes de chaînes $\lambda(P)$ et $\lambda(P')$ $\oo$\nbd{}catégorie, les complexes de chaînes $\lambda(P)$ et $\lambda(P')$
sont quasi-isomorphes. Ainsi, on peut définir le \emph{$k$\nbd{}ème groupe sont quasi-isomorphes. Ainsi, on peut définir le \emph{$k$\nbd{}ème groupe
...@@ -88,32 +88,30 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ pour la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes). ...@@ -88,32 +88,30 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ pour la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
$k$\nbd{}ème groupe d'homologie de $\lambda(P)$ pour n'importe quelle $k$\nbd{}ème groupe d'homologie de $\lambda(P)$ pour n'importe quelle
résolution polygraphique $P \to C$. résolution polygraphique $P \to C$.
Il découle de ces considérations la question suivante : Ces considérations invitent à se poser la question suivante :
\begin{center} \begin{center}
A-t-on $H_{\bullet}^{\pol}(C) \simeq H_{\bullet}^{\sing}(C)$ pour toute A-t-on $H_{\bullet}^{\pol}(C) \simeq H_{\bullet}^{\sing}(C)$ pour toute
$\oo$\nbd{}catégorie $C$ ? $\oo$\nbd{}catégorie $C$ ?
\end{center} \end{center}
Une première réponse partielle à cette question a été donnée par Lafont et Une première réponse partielle a été donnée par Lafont et
Métayer \cite{lafont2009polygraphic} : pour tout monoïde $M$ (vu comme une Métayer \cite{lafont2009polygraphic} : pour tout monoïde $M$ (vu comme une $\oo$\nbd{}catégorie
catégorie à un seul objet, et \emph{a fortiori} comme une $\oo$\nbd{}catégorie
à un seul objet et dont toutes les cellules de dimension supérieure à $1$ sont à un seul objet et dont toutes les cellules de dimension supérieure à $1$ sont
des unités), on a $H_{\bullet}^{\pol}(M) \simeq H_{\bullet}^{\sing}(M)$. des unités), on a $H_{\bullet}^{\pol}(M) \simeq H_{\bullet}^{\sing}(M)$.
Mentionnons au passage que l'homologie polygraphique a été originellement Mentionnons au passage que l'homologie polygraphique a été conçue originellement pour étudier l'homologie des monoïdes et fait partie d'un programme
concue pour étudier l'homologie des monoïdes et fait partie d'un programme
dont le but est de généraliser en dimension supérieure les travaux de Squier dont le but est de généraliser en dimension supérieure les travaux de Squier
sur la théorie de la réécriture des monoïdes \cite{guiraud2006termination, sur la théorie de la réécriture des monoïdes \cite{guiraud2006termination,
lafont2007algebra, guiraud2009higher, guiraud2018polygraphs}. Malgré le lafont2007algebra, guiraud2009higher, guiraud2018polygraphs}. Malgré le
résultat de Lafont et Métayer, il est remarquable que la réponse générale à la résultat de Lafont et Métayer, la réponse générale à la
question précédente est \emph{non}. Un contre-exemple a été découvert par question précédente est \emph{non}. Un contre-exemple a été découvert par
Maltsiniotis et Ara. Soit $B$ le monoïde commutative $(\mathbb{N},+)$, vu Maltsiniotis et Ara. Soit $B$ le monoïde commutatif $(\mathbb{N},+)$, vu
comme une $2$\nbd{}catégorie avec une seule $0$\nbd{}cellule et pas de comme une $2$\nbd{}catégorie avec une seule $0$\nbd{}cellule et pas de
$1$\nbd{}cellule non-triviale. Cette $2$\nbd{}catégorie est libre (en tant $1$\nbd{}cellule non-triviale. Cette $2$\nbd{}catégorie est libre (en tant
qu'$\oo$\nbd{}catégorie) et un calcul rapide montre que: que $\oo$\nbd{}catégorie) et un calcul rapide montre que:
\[ \[
H_k^{\pol}(B)=\begin{cases} \mathbb{Z} &\text{ pour } k=0,2 \\ 0 &\text{ H_k^{\pol}(B)=\begin{cases} \mathbb{Z} &\text{ pour } k=0,2 \\ 0 &\text{
sinon. }\end{cases} sinon. }\end{cases}
\] \]
D'autre part, Ara a démontré \cite[Theorem 4.9 and Example D'autre part, Ara a démontré \cite[Theorem 4.9 et Example
4.10]{ara2019quillen} que le nerf de $B$ est un $K(\mathbb{Z},2)$, qui a donc 4.10]{ara2019quillen} que le nerf de $B$ est un $K(\mathbb{Z},2)$, qui a donc
des groupes d'homologie non triviaux en toute dimension paire. des groupes d'homologie non triviaux en toute dimension paire.
...@@ -122,10 +120,10 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ pour la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes). ...@@ -122,10 +120,10 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ pour la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
\textbf{(Q)} Quelles sont les $\oo$\nbd{}catégories $C$ pour lesquelles \textbf{(Q)} Quelles sont les $\oo$\nbd{}catégories $C$ pour lesquelles
$H_{\bullet}^{\pol}(C) \simeq H_{\bullet}^{\sing}(C)$? $H_{\bullet}^{\pol}(C) \simeq H_{\bullet}^{\sing}(C)$?
\end{center} \end{center}
Cette précisément à cette question que tente de répondre cette thèse. C'est précisément à cette question que tente de répondre cette thèse.
Néanmoins, le lecteur trouvera dans ce document plusieurs notions nouvelles et Néanmoins, le lecteur trouvera dans ce document plusieurs notions nouvelles et
résultats qui, bien qu'originellement motivés par la question ci-dessus, sont résultats qui, bien qu'originellement motivés par la question ci-dessus, sont
intrinsèquement intéressantes pour la théorie des $\oo$\nbd{}catégories et intrinsèquement intéressants pour la théorie des $\oo$\nbd{}catégories et
dont la portée dépasse les considérations homologiques précédentes. dont la portée dépasse les considérations homologiques précédentes.
\end{named} \end{named}
\begin{named}[Une autre formulation du problème] Un des accomplissements \begin{named}[Une autre formulation du problème] Un des accomplissements
...@@ -137,7 +135,7 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ pour la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes). ...@@ -137,7 +135,7 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ pour la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
Pour cela, rappelons tout d'abord qu'une variation de l'équivalence de Pour cela, rappelons tout d'abord qu'une variation de l'équivalence de
Dold--Kan (voir par exemple \cite{bourn1990another}) permet d'affirmer que la Dold--Kan (voir par exemple \cite{bourn1990another}) permet d'affirmer que la
catégorie des objets en groupes abéliens dans la catégorie $\oo\Cat$ est catégorie des objets en groupes abéliens dans la catégorie $\oo\Cat$ est
équivalente à la catégorie des complexes de chaînes en degré positifs équivalente à la catégorie des complexes de chaînes en degré positif
\[ \[
\Ab(\oo\Cat) \simeq \Ch. \Ab(\oo\Cat) \simeq \Ch.
\] \]
...@@ -152,25 +150,25 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ pour la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes). ...@@ -152,25 +150,25 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ pour la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
que Métayer utilise dans sa définition d'homologie polygraphique. que Métayer utilise dans sa définition d'homologie polygraphique.
Par ailleurs, la catégorie $\oo\Cat$ peut être munie d'une structure de Par ailleurs, la catégorie $\oo\Cat$ peut être munie d'une structure de
modèle, communément appelée \emph{la structure de modèle folk} catégorie de modèles, communément appelée \emph{la structure de catégorie de modèles folk}
\cite{lafont2010folk}, dont les équivalences faibles sont les \cite{lafont2010folk}, dont les équivalences faibles sont les
\emph{équivalences d'$\oo$\nbd{}catégories} (notion généralisant celle des équivalences de \emph{équivalences d'$\oo$\nbd{}catégories} (notion généralisant celle des équivalences de
catégories) et dont les objets cofibrants sont les $\oo$\nbd{}catégories catégories) et dont les objets cofibrants sont les $\oo$\nbd{}catégories
libres \cite{metayer2008cofibrant}. Les résolutions polygraphiques ne sont alors libres \cite{metayer2008cofibrant}. Les résolutions polygraphiques ne sont alors
rien d'autres que des remplacements cofibrants pour cette structure de modèle. rien d'autre que des remplacements cofibrants pour cette structure de catégorie de modèles.
Comme la définition des groupes d'homologie polygraphique le laissait deviner, Comme la définition des groupes d'homologie polygraphique le laissait deviner,
le foncteur $\lambda$ est Quillen à gauche relativement à cette structure de le foncteur $\lambda$ est Quillen à gauche relativement à cette structure de
modèle. En particulier, ce foncteur admet un foncteur dérivé à gauche catégorie de modèles. En particulier, ce foncteur admet un foncteur dérivé à gauche
\[ \[
\LL \lambda^{\folk} : \ho(\oo\Cat^{\folk}) \to \ho(\Ch) \LL \lambda^{\folk} : \ho(\oo\Cat^{\folk}) \to \ho(\Ch)
\] \]
et on a tautologiquement $H_k^{\pol}(C) = H_k(\LL \lambda^{\folk}(C))$ pour et on a tautologiquement $H_k^{\pol}(C) = H_k(\LL \lambda^{\folk}(C))$ pour
tout $\oo$\nbd{}catégorie $C$ et pour tout $k\geq 0$. Désormais, on posera même toute $\oo$\nbd{}catégorie $C$ et pour tout $k\geq 0$. Désormais, on posera même
\[ \[
\sH^{\pol}(C):=\LL \lambda^{\folk}(C). \sH^{\pol}(C):=\LL \lambda^{\folk}(C).
\] \]
Je précise que cette façon de comprendre l'homologie polygraphique comme foncteur dérivé à Je précise que cette façon de comprendre l'homologie polygraphique comme foncteur dérivé à
gauche fait partir du folklore depuis un certain temps et je ne prétend à gauche fait partie du folklore depuis un certain temps et je ne prétends à
aucune originalité concernant ce point précis. aucune originalité concernant ce point précis.
D'autre part, le foncteur $\lambda$ est aussi dérivable à gauche quand D'autre part, le foncteur $\lambda$ est aussi dérivable à gauche quand
...@@ -184,9 +182,9 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ pour la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes). ...@@ -184,9 +182,9 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ pour la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
0$. Contrairement au cas \og folk \fg{}, ce résultat est 0$. Contrairement au cas \og folk \fg{}, ce résultat est
complètement nouveau et apparaît pour la première fois dans ce manuscrit (à ma complètement nouveau et apparaît pour la première fois dans ce manuscrit (à ma
connaissance, du moins). Notons également que, puisque l'existence d'une connaissance, du moins). Notons également que, puisque l'existence d'une
structure de modèle \og à la Thomason \fg{} sur $\oo\Cat$ structure de catégorie de modèles \og à la Thomason \fg{} sur $\oo\Cat$
est toujours conjecturale, les outils habituels de la théorie de Quillen des est toujours conjecturale, les outils habituels de la théorie de Quillen des
catégories de modèle n'étaient pas permis pour démontrer que $\lambda$ était catégories de modèles n'étaient pas permis pour démontrer que $\lambda$ était
dérivable à gauche. La difficulté de ce résultat fût de trouver un moyen de dérivable à gauche. La difficulté de ce résultat fût de trouver un moyen de
contourner ce problème. contourner ce problème.
...@@ -195,13 +193,13 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ pour la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes). ...@@ -195,13 +193,13 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ pour la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
\sH^{\sing}(C):=\LL \lambda^{\Th}(C). \sH^{\sing}(C):=\LL \lambda^{\Th}(C).
\] \]
Et finalement, on peut montrer que toute équivalence de $\oo$\nbd{}catégories Finalement, on peut montrer que toute équivalence de $\oo$\nbd{}catégories
est une équivalence de Thomason. Ainsi, le foncteur identité de $\oo\Cat$ est une équivalence de Thomason. Ainsi, le foncteur identité de $\oo\Cat$
induit formellement un foncteur $\J$ au niveau des catégories homotopiques induit formellement un foncteur $\J$ au niveau des catégories homotopiques
\[ \[
\J : \ho(\oo\Cat^{\folk}) \to \ho(\oo\Cat^{\Th}), \J : \ho(\oo\Cat^{\folk}) \to \ho(\oo\Cat^{\Th}),
\] \]
et obtient donc un triangle et on obtient donc un triangle
\[ \[
\begin{tikzcd} \begin{tikzcd}
\ho(\oo\Cat^{\folk}) \ar[rd,"\LL \lambda^{\folk}"'] \ar[r,"\J"] & \ho(\oo\Cat^{\Th}) \ar[d,"\LL \lambda^{\Th}"] \\ \ho(\oo\Cat^{\folk}) \ar[rd,"\LL \lambda^{\folk}"'] \ar[r,"\J"] & \ho(\oo\Cat^{\Th}) \ar[d,"\LL \lambda^{\Th}"] \\
...@@ -223,9 +221,9 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ pour la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes). ...@@ -223,9 +221,9 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ pour la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
\] \]
que nous appelerons le \emph{morphisme de comparaison canonique}. De plus, que nous appelerons le \emph{morphisme de comparaison canonique}. De plus,
une $\oo$\nbd{}catégorie $C$ est qualifiée d'\emph{homologiquement cohérente} si $\pi_C$ est une $\oo$\nbd{}catégorie $C$ est qualifiée d'\emph{homologiquement cohérente} si $\pi_C$ est
un isomorphisme (ce qui signifie exactement que pour tout $k \geq 0$, le un isomorphisme (ce qui signifie exactement que le
morphisme induit $H^{\sing}_k(C) \to morphisme induit $H^{\sing}_k(C) \to
H_k^{\pol}(C)$ est un isomorphisme). La question devient alors : H_k^{\pol}(C)$ est un isomorphisme pour tout $k \geq 0$). La question devient alors :
\begin{center} \begin{center}
\textbf{(Q')} Quelles $\oo$\nbd{}catégories sont homologiquement cohérentes ? \textbf{(Q')} Quelles $\oo$\nbd{}catégories sont homologiquement cohérentes ?
\end{center} \end{center}
...@@ -233,41 +231,40 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ pour la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes). ...@@ -233,41 +231,40 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ pour la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
que la question \textbf{(Q)} car l'isomorphisme entre les groupes d'homologie que la question \textbf{(Q)} car l'isomorphisme entre les groupes d'homologie
polygraphique et singulière est imposé. Pratiquement cela polygraphique et singulière est imposé. Pratiquement cela
ne change rien car lorsque nous prouverons que l'homologie polygraphique ne change rien car lorsque nous prouverons que l'homologie polygraphique
coincide avec l'homologie singulière ce sera toujours via le morphisme de coïncide avec l'homologie singulière ce sera toujours via le morphisme de
comparaison canonique. Et réciproquement, lorsque nous montrerons qu'une comparaison canonique. Et réciproquement, lorsque nous montrerons qu'une
$\oo$\nbd{}catégorie n'est pas homologiquement cohérente, nous écarterons tout $\oo$\nbd{}catégorie n'est pas homologiquement cohérente, nous écarterons tout
isormophisme possible. isomorphisme possible.
Comme il sera expliqué dans la thèse, de cette Comme il sera expliqué dans la thèse, de cette
reformulation en terme de foncteurs dérivés il est également possible de déduire formellement que l'homologie polygraphique n'est \emph{pas} invariante reformulation en terme de foncteurs dérivés il est également possible de déduire formellement que l'homologie polygraphique n'est \emph{pas} invariante
relativement aux équivalences de thomason. Cela signifie qu'il existe au moins relativement aux équivalences de Thomason. Cela signifie qu'il existe au moins
une équivalence thomason $f : C \to D$ telle que le morphisme induit en une équivalence de Thomason $f : C \to D$ telle que le morphisme induit en
homologie polygraphique homologie polygraphique
\[ \[
\sH^{\pol}(C) \to \sH^{\pol}(D) \sH^{\pol}(C) \to \sH^{\pol}(D)
\] \]
n'est \emph{pas} un isomorphisme. En d'autres termes, si nous voyons les n'est \emph{pas} un isomorphisme. En d'autres termes, si nous voyons les
$\oo$\nbd{}catégories comme modèles des types d'homotopie (via la $\oo$\nbd{}catégories comme modèles des types d'homotopie (via la
localisation de $\oo\Cat$ relativement aux équivalences de thomason), alors localisation de $\oo\Cat$ relativement aux équivalences de Thomason), alors
l'homologie polygraphique n'est \emph{pas} un invartiant bien défini. Un autre l'homologie polygraphique n'est \emph{pas} un invartiant bien défini. Un autre
point de vue possible serait de considérer que l'homologie polygraphique est point de vue possible serait de considérer que l'homologie polygraphique est
un invariant intrinsèque des $\oo$\nbd{}catégories (et non pas à équivalence un invariant intrinsèque des $\oo$\nbd{}catégories (et non pas à équivalence
de thomason près) et, de cette façon, est un invariant plus fin que de Thomason près) et, de cette façon, est un invariant plus fin que
l'homologie singulière. Ce n'est pas le point de vue adopté dans cette thèse l'homologie singulière. Ce n'est pas le point de vue adopté dans cette thèse
et la raison de ce choix sera motivée à la fin de cette introduction. Le et ce choix sera motivé à la fin de cette introduction. Le
slogan à retenir est : slogan à retenir est :
\begin{center} \begin{center}
L'homologie polygraphique est un moyen de calculer les groupes d'homologie L'homologie polygraphique est un moyen de calculer les groupes d'homologie
singulière des $\oo$\nbd{}catégories homologiquement cohérentes. singulière des $\oo$\nbd{}catégories homologiquement cohérentes.
\end{center} \end{center}
L'idée étant que pour une $\oo$\nbd{}catégorie $P$ qui est supposée être libre L'idée étant que pour une $\oo$\nbd{}catégorie libre $P$ (et qui est donc sa propre résolution polygraphique), le complexe de chaînes
(et est donc sa propre résolution polygraphique), le complexe de chaîne
$\lambda(P)$ est beaucoup moins \og gros \fg{} que le $\lambda(P)$ est beaucoup moins \og gros \fg{} que le
complexe de chaîne associé au nerf de $P$, et ainsi les groupes d'homologie complexe de chaînes associé au nerf de $P$, et ainsi les groupes d'homologie
polygraphique de $P$ sont beaucoup plus faciles à calculer que les groupes polygraphique de $P$ sont beaucoup plus faciles à calculer que les groupes
d'homologie singulière. La situation est comparable à l'utilisation de d'homologie singulière. La situation est comparable à l'utilisation de
l'homologie cellulaire afin de calculer les groupes d'homologie singulière l'homologie cellulaire afin de calculer les groupes d'homologie singulière
d'un cw-complexe. La différence étant que dans ce dernier cas il est toujours d'un CW\nbd{}complexe. La différence étant que dans ce dernier cas il est toujours
possible de procéder ainsi, alors que dans le cas des $\oo$\nbd{}catégories, possible de procéder ainsi, alors que dans le cas des $\oo$\nbd{}catégories,
on doit d'abord s'assurer que la $\oo$\nbd{}catégorie (libre) en question est on doit d'abord s'assurer que la $\oo$\nbd{}catégorie (libre) en question est
bien homologiquement cohérente. bien homologiquement cohérente.
...@@ -286,15 +283,15 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ pour la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes). ...@@ -286,15 +283,15 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ pour la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
En tant que tel, ce résultat est seulement une petite généralisation du En tant que tel, ce résultat est seulement une petite généralisation du
résultat de Lafont et Métayer sur les monoïdes (bien qu'il soit plus précis, résultat de Lafont et Métayer sur les monoïdes (bien qu'il soit plus précis,
même retreint aux monoïdes, car il dit que c'est le \emph{morphisme de même restreint aux monoïdes, car il dit que c'est le \emph{morphisme de
comparaison canonique} qui est un isomorphisme). Mais la véritable nouveauté comparaison canonique} qui est un isomorphisme). Mais la véritable nouveauté
du résultat en est sa démonstration qui est plus conceptuelle que celle de du résultat en est sa démonstration qui est plus conceptuelle que celle de
Lafont et Métayer. Elle repose sur l'introduction de nouvelles notions et le Lafont et Métayer. Elle repose sur l'introduction de nouvelles notions et le
développement de nouveaux résultats; le tout s'assemblant élégamment pour développement de nouveaux résultats; le tout s'assemblant élégamment pour
finalement produire le résultat voulu. Cette thèse a été écrite de telle façon finalement produire le résultat voulu. Cette thèse a été écrite de telle façon
que tous ces élements nécessaires à la démonstration du résultat précédent que tous les élements nécessaires à la démonstration du résultat précédent
sont répartis sur plusieurs chapitres; une version plus condensée de celle-ci sont répartis sur plusieurs chapitres; une version plus condensée de celle-ci
se trouve l'article \cite{guetta2020homology}. Parmi les nouvelles notions se trouve dans l'article \cite{guetta2020homology}. Parmi les nouvelles notions
développées, la plus significative est probablement celle développées, la plus significative est probablement celle
d'$\oo$\nbd{}foncteur de Conduché discret. Un $\oo$\nbd{}foncteur $f : C \to d'$\oo$\nbd{}foncteur de Conduché discret. Un $\oo$\nbd{}foncteur $f : C \to
D$ est un \emph{$\oo$\nbd{}foncteur de Conduché discret} quand pour toute D$ est un \emph{$\oo$\nbd{}foncteur de Conduché discret} quand pour toute
...@@ -321,7 +318,7 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ pour la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes). ...@@ -321,7 +318,7 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ pour la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
(en tant qu'$\oo$\nbd{}catégories) et c'est ce qui est fait dans cette thèse. (en tant qu'$\oo$\nbd{}catégories) et c'est ce qui est fait dans cette thèse.
Avec cette hypothèse simplificatrice, le problème de caractérisation des Avec cette hypothèse simplificatrice, le problème de caractérisation des
$2$\nbd{}catégories libres homologiquement cohérentes peut être réduit à la $2$\nbd{}catégories libres homologiquement cohérentes peut être réduit à la
question suivante : soit un carré cocartésien de la forme question suivante : Soit un carré cocartésien de la forme
\[ \[
\begin{tikzcd} \begin{tikzcd}
\sS_1 \ar[r] \ar[d] & P \ar[d]\\ \sS_1 \ar[r] \ar[d] & P \ar[d]\\
...@@ -334,7 +331,7 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ pour la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes). ...@@ -334,7 +331,7 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ pour la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
permettant de reconnaître les carrés homotopiquement cocartésiens de permettant de reconnaître les carrés homotopiquement cocartésiens de
$2$\nbd{}catégories relativement aux équivalences Thomason. Bien que les $2$\nbd{}catégories relativement aux équivalences Thomason. Bien que les
outils qui seront présentés ne permettent pas de répondre entièrement à la outils qui seront présentés ne permettent pas de répondre entièrement à la
question ci-dessus, ils permmetent tout de même de détecter de tels carrés question ci-dessus, ils permettent tout de même de détecter de tels carrés
cocartésiens dans beaucoup de situations concrètes. Il y a même une section cocartésiens dans beaucoup de situations concrètes. Il y a même une section
entière de la thèse qui consiste uniquement en une liste d'exemples détaillés entière de la thèse qui consiste uniquement en une liste d'exemples détaillés
de calculs du type d'homotopie de $2$\nbd{}catégories libres en utilisant ces de calculs du type d'homotopie de $2$\nbd{}catégories libres en utilisant ces
...@@ -367,8 +364,8 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ pour la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes). ...@@ -367,8 +364,8 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ pour la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
guide pour des travaux futurs qu'autre chose. guide pour des travaux futurs qu'autre chose.
De la même façon que les $2$\nbd{}catégories (strictes) sont des cas De la même façon que les $2$\nbd{}catégories (strictes) sont des cas
particulier de bicatégories, les $\oo$\nbd{}catégories strictes sont en particuliers de bicatégories, les $\oo$\nbd{}catégories strictes sont en
réalité des cas particulier de ce qui est communément appelé des réalité des cas particuliers de ce qui est communément appelé des
\emph{$\oo$\nbd{}catégories faibles}. Ces objets mathématiques ont été \emph{$\oo$\nbd{}catégories faibles}. Ces objets mathématiques ont été
définis, par exemple, par Batanin en utilisant le formalisme des opérades définis, par exemple, par Batanin en utilisant le formalisme des opérades
globulaires \cite{batanin1998monoidal} ou par Maltsiniotis en suivant des globulaires \cite{batanin1998monoidal} ou par Maltsiniotis en suivant des
...@@ -379,7 +376,7 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ pour la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes). ...@@ -379,7 +376,7 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ pour la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
catégories usuelle, il est attendu que toutes les notions \og catégories usuelle, il est attendu que toutes les notions \og
intrinsèques \fg{} (dans un sens précis à définir) de la théorie des intrinsèques \fg{} (dans un sens précis à définir) de la théorie des
$\oo$\nbd{}catégories strictes ont des analogues \emph{faibles}. Par $\oo$\nbd{}catégories strictes ont des analogues \emph{faibles}. Par
exemple, il est attendu qu'il y ait une structure de modèle folk sur la exemple, il est attendu qu'il y ait une structure de catégorie de modèles folk sur la
catégorie des $\oo$\nbd{}catégories faibles et qu'il y ait une bonne notion catégorie des $\oo$\nbd{}catégories faibles et qu'il y ait une bonne notion
de $\oo$\nbd{}catégorie faible libre. En fait, ces dernières seraient de $\oo$\nbd{}catégorie faible libre. En fait, ces dernières seraient
certainement définies comme les $\oo$\nbd{}catégories faibles qui sont certainement définies comme les $\oo$\nbd{}catégories faibles qui sont
...@@ -401,8 +398,8 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ pour la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes). ...@@ -401,8 +398,8 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ pour la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
polygraphique au départ. De cette observation, il est tentant de faire la polygraphique au départ. De cette observation, il est tentant de faire la
conjecture suivante : conjecture suivante :
\begin{center} \begin{center}
L'homologie polygraphique faible d'une $\oo$\nbd{]categorie stricte L'homologie polygraphique faible d'une $\oo$\nbd{}categorie stricte
coincide avec son homologie singulière. } coïncide avec son homologie singulière.
\end{center} \end{center}
En d'autres termes, nous conjecturons que le fait que l'homologie En d'autres termes, nous conjecturons que le fait que l'homologie
polygraphique et l'homologie singulière d'une $\oo$\nbd{}catégorie stricte polygraphique et l'homologie singulière d'une $\oo$\nbd{}catégorie stricte
...@@ -421,7 +418,7 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ pour la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes). ...@@ -421,7 +418,7 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ pour la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
faibles munie des équivalences de $\oo$\nbd{}groupoïdes faibles (voir faibles munie des équivalences de $\oo$\nbd{}groupoïdes faibles (voir
\cite[Paragraph 2.2]{maltsiniotis2010grothendieck}) est un modèle de la \cite[Paragraph 2.2]{maltsiniotis2010grothendieck}) est un modèle de la
théorie homotopique des espaces. En particulier, chaque $\oo$\nbd{}groupoïde théorie homotopique des espaces. En particulier, chaque $\oo$\nbd{}groupoïde
à des groupes d'homologie et on peut définir les groupes d'homologie a des groupes d'homologie et on peut définir les groupes d'homologie
singulière d'une $\oo$\nbd{}catégorie faible $C$ comme les groupes singulière d'une $\oo$\nbd{}catégorie faible $C$ comme les groupes
d'homologie de $L(C)$. d'homologie de $L(C)$.
\end{named} \end{named}
...@@ -438,7 +435,7 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ pour la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes). ...@@ -438,7 +435,7 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ pour la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
alors $C$ l'est aussi. La démonstration de ce théorème est longue et alors $C$ l'est aussi. La démonstration de ce théorème est longue et
technique et est décomposée en plusieurs parties distinctes. technique et est décomposée en plusieurs parties distinctes.
Le second chapitre a pour but de rappeler quelques outils d'algébre Le second chapitre a pour but de rappeler quelques outils d'algèbre
homotopique. En particulier, les aspects élémentaires de la homotopique. En particulier, les aspects élémentaires de la
théorie des colimites homotopiques en utilisant le formalisme de Grothendieck des théorie des colimites homotopiques en utilisant le formalisme de Grothendieck des
dérivateurs y sont rapidement présentés. Notons au passage que ce chapitre dérivateurs y sont rapidement présentés. Notons au passage que ce chapitre
...@@ -455,7 +452,7 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ pour la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes). ...@@ -455,7 +452,7 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ pour la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
$\oo$\nbd{}catégorie est une équivalence de Thomason, et Théorème $\oo$\nbd{}catégorie est une équivalence de Thomason, et Théorème
\ref{thm:folkthmA}, qui dit que les équivalences de $\oo$\nbd{}catégories \ref{thm:folkthmA}, qui dit que les équivalences de $\oo$\nbd{}catégories
satisfont une propriété réminiscente du théorème A de Quillen \cite[Theorem satisfont une propriété réminiscente du théorème A de Quillen \cite[Theorem
A]{quillen1973higher} and sa généralisation $\oo$\nbd{}catégorique par Ara A]{quillen1973higher} et sa généralisation $\oo$\nbd{}catégorique par Ara
et Maltsiniotis \cite{ara2018theoreme,ara2020theoreme}. et Maltsiniotis \cite{ara2018theoreme,ara2020theoreme}.
Dans le quatrième chapitre, nous définierons les homologies polygraphique et Dans le quatrième chapitre, nous définierons les homologies polygraphique et
...@@ -467,9 +464,9 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ pour la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes). ...@@ -467,9 +464,9 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ pour la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
chapitre sont les suivants : Théorème \ref{thm:hmlgyderived}, qui dit que chapitre sont les suivants : Théorème \ref{thm:hmlgyderived}, qui dit que
l'homologie singulière s'obtient comme le foncteur dérivé d'un foncteur l'homologie singulière s'obtient comme le foncteur dérivé d'un foncteur
d'abélianisation, Proposition \ref{prop:criteriongoodcat}, qui donne un d'abélianisation, Proposition \ref{prop:criteriongoodcat}, qui donne un
crité abstrait pour détecter les $\oo$\nbd{}catégories homologiquement critère abstrait pour détecter les $\oo$\nbd{}catégories homologiquement
cohérentes, et Proposition \ref{prop:comphmlgylowdimension}, qui dit que les cohérentes, et Proposition \ref{prop:comphmlgylowdimension}, qui dit que les
groupes d'homologie polygraphique et singulière coincident toujours en basse groupes d'homologies polygraphique et singulière coïncident toujours en basse
dimension. dimension.
Le cinquième chapitre a pour but de démontrer le Théorème fondamental Le cinquième chapitre a pour but de démontrer le Théorème fondamental
......
...@@ -114,7 +114,7 @@ $1$ sont des unités, sont homologiquement cohérente. On introduit également l ...@@ -114,7 +114,7 @@ $1$ sont des unités, sont homologiquement cohérente. On introduit également l
notion de $2$\nbd{}catégorie \emph{sans bulles} et on conjecture qu'une notion de $2$\nbd{}catégorie \emph{sans bulles} et on conjecture qu'une
$2$\nbd{}catégorie cofibrante est homologiquement cohérente si et seulement si $2$\nbd{}catégorie cofibrante est homologiquement cohérente si et seulement si
elle est sans bulles. On démontre également des résultats importants concernant elle est sans bulles. On démontre également des résultats importants concernant
les $\oo$\nbd{}catégories strictes qui sont libres sur un polygraphique, comme les $\oo$\nbd{}catégories strictes qui sont libres sur un polygraphe, comme
le fait que si $F : C \to D$ est un $\oo$\nbd{}foncteur discret de Conduché et le fait que si $F : C \to D$ est un $\oo$\nbd{}foncteur discret de Conduché et
si $D$ est libre sur un polygraphe alors $C$ l'est aussi. Dans son ensemble, si $D$ est libre sur un polygraphe alors $C$ l'est aussi. Dans son ensemble,
cette thèse établit un cadre général dans lequel étudier l'homologie des cette thèse établit un cadre général dans lequel étudier l'homologie des
...@@ -159,7 +159,7 @@ homotopy theory, polygraphs. ...@@ -159,7 +159,7 @@ homotopy theory, polygraphs.
\tableofcontents \tableofcontents
\include{remerciements} %\include{remerciements}
\include{introduction} \include{introduction}
\include{introduction_fr} \include{introduction_fr}
\include{omegacat} \include{omegacat}
......
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