Commit 5df9566f authored by Leonard Guetta's avatar Leonard Guetta
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Encore des typos corrigées ! Et un peu de mise en page aussi.

parent a54d6241
......@@ -60,7 +60,7 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
étant le $k$\nbd{}ème groupe d'homologie du nerf de $C$. À la lumière du
résultat de Gagna, ces groupes d'homologies sont simplement les groupes
d'homologie des espaces vus sous un autre angle. Afin d'éviter de potentielles
confusions à venir, nous appelerons désormais ces groupes d'homologie les
confusions à venir, nous appellerons désormais ces groupes d'homologie les
\emph{groupes d'homologie singulière} de $C$ et nous utiliserons la notation
$H^{\sing}_k(C)$.
......@@ -68,7 +68,7 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
définis par Métayer dans \cite{metayer2003resolutions}. La définition de
ceux-ci repose sur la notion de \emph{$\oo$\nbd{}catégorie libre sur un
polygraphe} (aussi connue sous le nom de \emph{computade}), c'est-à-dire
d'$\oo$\nbd{}catégorie obtenue de manière récursive à partir de la catégorie
de $\oo$\nbd{}catégorie obtenue de manière récursive à partir de la catégorie
vide en attachant librement des cellules. Désormais, nous dirons simplement
\emph{$\oo$\nbd{}catégorie libre}. Il a été observé par Métayer que toute
$\oo$\nbd{}catégorie $C$ admet une \emph{résolution polygraphique},
......@@ -152,7 +152,7 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
Par ailleurs, la catégorie $\oo\Cat$ peut être munie d'une structure de
catégorie de modèles, communément appelée \emph{la structure de catégorie de modèles folk}
\cite{lafont2010folk}, dont les équivalences faibles sont les
\emph{équivalences d'$\oo$\nbd{}catégories} (notion généralisant celle des équivalences de
\emph{équivalences de $\oo$\nbd{}catégories} (notion généralisant celle des équivalences de
catégories) et dont les objets cofibrants sont les $\oo$\nbd{}catégories
libres \cite{metayer2008cofibrant}. Les résolutions polygraphiques ne sont alors
rien d'autre que des remplacements cofibrants pour cette structure de catégorie de modèles.
......@@ -172,7 +172,7 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
aucune originalité concernant ce point précis.
D'autre part, le foncteur $\lambda$ est aussi dérivable à gauche quand
$\oo\Cat$ est munie des équivalences faibles, ce qui permet d'obtenir un
$\oo\Cat$ est munie des équivalences de Thomason, ce qui permet d'obtenir un
foncteur dérivé à gauche
\[
\LL \lambda^{\Th} : \ho(\oo\Cat^{\Th}) \to \ho(\Ch).
......@@ -184,8 +184,8 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
connaissance, du moins). Notons également que, puisque l'existence d'une
structure de catégorie de modèles \og à la Thomason \fg{} sur $\oo\Cat$
est toujours conjecturale, les outils habituels de la théorie de Quillen des
catégories de modèles n'étaient pas permis pour démontrer que $\lambda$ était
dérivable à gauche. La difficulté de ce résultat fût de trouver un moyen de
catégories de modèles sont inutilisables pour démontrer que $\lambda$ est
dérivable à gauche. La difficulté fut de trouver un moyen de
contourner ce problème.
Désormais, on posera
......@@ -208,9 +208,9 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
\]
Ce triangle n'est \emph{pas} commutatif (même à un isomorphisme près), car
cela impliquerait que les groupes d'homologie singulière et les groupes
d'homologie polygraphique coïncident pour tout $\oo$\nbd{}catégorie.
d'homologie polygraphique coïncident pour toute $\oo$\nbd{}catégorie.
Néanmoins, puisque les foncteurs $\LL \lambda^{\folk}$ et $\LL \lambda^{\Th}$
sont tous les deux des foncteurs dérivés à gauche du même focteur, l'existence
sont tous les deux des foncteurs dérivés à gauche du même foncteur, l'existence
d'une transformation naturelle $\pi : \LL \lambda^{\Th} \circ \J
\Rightarrow \LL \lambda^{\folk}$ découle formellement par propriété
universelle. De plus, $\J$ étant l'identité sur les objets, cette
......@@ -219,7 +219,7 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
\[
\pi_C : \sH^{\sing}(C) \to \sH^{\pol}(C),
\]
que nous appelerons le \emph{morphisme de comparaison canonique}. De plus,
que nous appellerons le \emph{morphisme de comparaison canonique}. De plus,
une $\oo$\nbd{}catégorie $C$ est qualifiée d'\emph{homologiquement cohérente} si $\pi_C$ est
un isomorphisme (ce qui signifie exactement que le
morphisme induit $H^{\sing}_k(C) \to
......@@ -232,7 +232,7 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
que nous rencontrerons, c'est toujours à la question \textbf{(Q')} que nous répondrons.
Comme il sera expliqué dans la thèse, de cette
reformulation en terme de foncteurs dérivés il est également possible de déduire formellement que l'homologie polygraphique n'est \emph{pas} invariante
reformulation en terme de foncteurs dérivés, il est également possible de déduire formellement que l'homologie polygraphique n'est \emph{pas} invariante
relativement aux équivalences de Thomason. Cela signifie qu'il existe au moins
une équivalence de Thomason $f : C \to D$ telle que le morphisme induit en
homologie polygraphique
......@@ -242,7 +242,7 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
n'est \emph{pas} un isomorphisme. En d'autres termes, si nous voyons les
$\oo$\nbd{}catégories comme modèles des types d'homotopie (via la
localisation de $\oo\Cat$ relativement aux équivalences de Thomason), alors
l'homologie polygraphique n'est \emph{pas} un invartiant bien défini. Un autre
l'homologie polygraphique n'est \emph{pas} un invariant bien défini. Un autre
point de vue possible serait de considérer que l'homologie polygraphique est
un invariant intrinsèque des $\oo$\nbd{}catégories (et non pas à équivalence
de Thomason près) et, de cette façon, est un invariant plus fin que
......@@ -288,7 +288,7 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
sont répartis sur plusieurs chapitres; une version plus condensée de celle-ci
se trouve dans l'article \cite{guetta2020homology}. Parmi les nouvelles notions
développées, la plus significative est probablement celle
d'$\oo$\nbd{}foncteur de Conduché discret. Un $\oo$\nbd{}foncteur $f : C \to
de $\oo$\nbd{}foncteur de Conduché discret. Un $\oo$\nbd{}foncteur $f : C \to
D$ est un \emph{$\oo$\nbd{}foncteur de Conduché discret} quand pour toute
cellule $x$ de $C$, si $f(x)$ peut être décomposé en
\[
......@@ -310,10 +310,10 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
des (1\nbd{})catégories, les 2\nbd{}catégories ne sont pas toutes
homologiquement cohérentes et la situation est beaucoup plus compliquée. En
premier lieu, on peut se restreindre aux $2$\nbd{}catégories qui sont libres
(en tant qu'$\oo$\nbd{}catégories) et c'est ce qui est fait dans cette thèse.
(en tant que $\oo$\nbd{}catégories) et c'est ce qui est fait dans cette thèse.
Avec cette hypothèse simplificatrice, le problème de caractérisation des
$2$\nbd{}catégories libres homologiquement cohérentes peut être réduit à la
question suivante : Soit un carré cocartésien de la forme
question suivante : soit un carré cocartésien de la forme
\[
\begin{tikzcd}
\sS_1 \ar[r] \ar[d] & P \ar[d]\\
......@@ -324,7 +324,7 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
cocartésien} relativement aux équivalences de Thomason? En conséquence, une
partie substantielle du travail présenté ici consiste à développer des outils
permettant de reconnaître les carrés homotopiquement cocartésiens de
$2$\nbd{}catégories relativement aux équivalences Thomason. Bien que les
$2$\nbd{}catégories relativement aux équivalences de Thomason. Bien que les
outils qui seront présentés ne permettent pas de répondre entièrement à la
question ci-dessus, ils permettent tout de même de détecter de tels carrés
cocartésiens dans beaucoup de situations concrètes. Il y a même une section
......@@ -341,8 +341,7 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
rencontrée plus haut (c'est-à-dire le monoïde commutatif $(\mathbb{N},+)$ vu
comme une $2$\nbd{}catégorie). Comme dit précédemment, cette
$2$\nbd{}catégorie n'est pas homologiquement cohérente et cela ne semble pas
être une coïncidence. Il est tout à fait remarquable que de tous les nombreux
exemples de $2$\nbd{}catégories présentés dans cette thèse, les seules qui ne
être une coïncidence. Il est tout à fait remarquable que de toutes les nombreuses $2$\nbd{}catégories étudiées dans cette thèse, les seules qui ne
sont pas homologiquement cohérentes sont exactement celles qui ne sont
\emph{pas} sans bulles. Cela conduit à la conjecture ci-dessous, qui est le
point d'orgue de la thèse.
......@@ -378,14 +377,14 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
récursivement obtenues à partir de la $\oo$\nbd{}catégorie vide en attachant librement
des cellules, ce qui est l'analogue formelle du cas strict. Le point clé ici
est qu'une $\oo$\nbd{}catégorie stricte libre n'est \emph{jamais} libre en
tant qu'$\oo$\nbd{}catégorie faible (excepté la $\oo$\nbd{}catégorie vide).
tant que $\oo$\nbd{}catégorie faible (excepté la $\oo$\nbd{}catégorie vide).
Par ailleurs, il existe de bons candidats pour l'homologie polygraphique des
$\oo$\nbd{}catégories faibles qui sont obtenus par mimétisme de la
définition du cas strict. Mais il n'y aucune raison en général que
l'homologie polygraphique d'une $\oo$\nbd{}catégorie stricte soit la même
que son \og homologie polygraphique faible \fg{}. En effet, puisque les
$\oo$\nbd{}catégories strictes libres ne sont pas libres en tant
qu'$\oo$\nbd{}catégories faibles, prendre une \og résolution polygraphique
que $\oo$\nbd{}catégories faibles, prendre une \og résolution polygraphique
faible \fg{} d'une $\oo$\nbd{}catégorie libre ne revient pas à
prendre une résolution polygraphique. De fait, lorsqu'on essaye de calculer
l'homologie polygraphique de $B$, il semblerait que cela donne les groupes
......@@ -423,9 +422,9 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
grand soin les $\oo$\nbd{}catégories libres, qui sont au c\oe{}ur de cette
thèse. C'est le seul chapitre de la thèse qui ne contient aucune référence à
la théorie de l'homotopie. C'est également dans ce chapitre que nous introduirons la notion
d'$\oo$\nbd{}foncteur de Conduché discret et que nous étudierons leur
de $\oo$\nbd{}foncteur de Conduché discret et que nous étudierons leur
relation avec les $\oo$\nbd{}catégories libres. Le point
culminant du chapitre étant le Théorème \ref{thm:conduche}, qui dit que pour
culminant du chapitre étant le théorème \ref{thm:conduche}, qui dit que pour
un $\oo$\nbd{}foncteur de Conduché discret $F : C \to D$, si $D$ est libre,
alors $C$ l'est aussi. La démonstration de ce théorème est longue et
technique et est décomposée en plusieurs parties distinctes.
......@@ -443,31 +442,31 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
des $\oo$\nbd{}catégories. C'est là que seront définies et comparées entre elles les différentes
notions d'équivalences faibles pour les $\oo$\nbd{}catégories. Les deux
résultats les plus significatifs de ce chapitre sont probablement
Proposition \ref{prop:folkisthom}, qui dit que toute équivalence de
$\oo$\nbd{}catégorie est une équivalence de Thomason, et Théorème
la proposition \ref{prop:folkisthom}, qui dit que toute équivalence de
$\oo$\nbd{}catégorie est une équivalence de Thomason, et le théorème
\ref{thm:folkthmA}, qui dit que les équivalences de $\oo$\nbd{}catégories
satisfont une propriété réminiscente du théorème A de Quillen \cite[Theorem
A]{quillen1973higher} et sa généralisation $\oo$\nbd{}catégorique par Ara
et Maltsiniotis \cite{ara2018theoreme,ara2020theoreme}.
Dans le quatrième chapitre, nous définierons les homologies polygraphique et
Dans le quatrième chapitre, nous définirons les homologies polygraphique et
singulière des $\oo$\nbd{}catégories et fomulerons précisément le problème
de leur comparaison. Jusqu'à la Section \ref{section:polygraphichmlgy}
de leur comparaison. Jusqu'à la section \ref{section:polygraphichmlgy}
incluse, tous les résultats étaient connus avant cette thèse (au moins dans
le folklore), mais à partir de la Section \ref{section:singhmlgyderived}
tous les résultats sont orignaux. Trois résultats fondamenteux de ce
chapitre sont les suivants : Théorème \ref{thm:hmlgyderived}, qui dit que
le folklore), mais à partir de la section \ref{section:singhmlgyderived}
tous les résultats sont orignaux. Trois résultats fondamentaux de ce
chapitre sont les suivants : le théorème \ref{thm:hmlgyderived}, qui dit que
l'homologie singulière s'obtient comme le foncteur dérivé d'un foncteur
d'abélianisation, Proposition \ref{prop:criteriongoodcat}, qui donne un
d'abélianisation, la proposition \ref{prop:criteriongoodcat}, qui donne un
critère abstrait pour détecter les $\oo$\nbd{}catégories homologiquement
cohérentes, et Proposition \ref{prop:comphmlgylowdimension}, qui dit que les
cohérentes, et la proposition \ref{prop:comphmlgylowdimension}, qui dit que les
groupes d'homologies polygraphique et singulière coïncident toujours en basse
dimension.
Le cinquième chapitre a pour but de démontrer le Théorème fondamental
Le cinquième chapitre a pour but de démontrer le théorème fondamental
\ref{thm:categoriesaregood}, qui dit que toute catégorie est homologiquement
cohérente. Pour cela, nous nous intéresserons en premier lieu
à une classe particulière d'$\oo$\nbd{}catégories, dites
à une classe particulière de $\oo$\nbd{}catégories, dites
\emph{contractiles}, et nous montrerons que toute $\oo$\nbd{}catégorie
contractile est homologiquement cohérente (Proposition
\ref{prop:contractibleisgood}).
......@@ -481,7 +480,7 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
de l'homotopie des ensembles bisimpliciaux. Ensuite, nous appliquerons ce
critère ainsi que d'autres techniques \emph{ad hoc} au calcul du type d'homotopie d'un grand
nombre de $2$\nbd{}catégories libres. La conclusion du chapitre est la
Conjecture \ref{conjecture:bubblefree}, qui énonce qu'une $2$\nbd{}catégorie
conjecture \ref{conjecture:bubblefree}, qui énonce qu'une $2$\nbd{}catégorie
libre est homologiquement cohérente si et seulement si elle est sans bulles.
\end{named}
\selectlanguage{english}
......
......@@ -130,7 +130,7 @@ le fait que si $F : C \to D$ est un $\oo$\nbd{}foncteur discret de Conduché et
si $D$ est libre sur un polygraphe alors $C$ l'est aussi. Dans son ensemble,
cette thèse établit un cadre général dans lequel étudier l'homologie des
$\oo$\nbd{}catégories en faisant appel à des outils d'algèbre homotopique
abstraite, tels que la théorie des catégorie de modèles de Quillen ou la théorie
abstraite, tels que la théorie des catégories de modèles de Quillen ou la théorie
des dérivateurs de Grothendieck.
\bigskip
......
......@@ -4,10 +4,9 @@
\selectlanguage{french}
Avec toute thèse, viennent les habituels remerciements. L'écriture de ces derniers
semble presque aussi délicate que l'écriture de la thèse elle-même car, il faut
bien le dire, la plupart des lecteurs ne s'aventureront pas au-delà (et je
les comprends !). Je n'ai d'ailleurs jamais été capable d'expliquer à mes proches
les mathématiques que je fais et j'en suis désolé. Pour faire simple, les
mathématiques c'est comme la musique, ça n'a rien à voir.
bien le dire, la plupart des lecteurs ne s'aventurent pas au-delà (et je
les comprends !). Je n'ai d'ailleurs jamais réussi à expliquer à mes proches
les mathématiques que je fais, qui sont pourtant vachement chouettes.
%Puissent-ils me croire sur parole quand je leur dis que c'est une recherche
%d'esthétisme qui anime mon coeur de mathématicien.
%je leur dis que l'esthétique inattendue des
......@@ -17,7 +16,7 @@ mathématiques c'est comme la musique, ça n'a rien à voir.
Merci à François Métayer et Clemens Berger d'avoir dirigé ma thèse avec autant de bienveillance
et de gentillesse. Vous avez su me guider tout en me laissant libre de suivre
mes intuitions,
parfois de façon têtue je dois le reconnaître.
parfois de façon têtue, je dois le reconnaître.
De manière peu conventionelle, je voudrais aussi remercier Georges Maltsiniotis
au même titre que mes directeurs de thèse. Véritable mentor pour moi, j'ose
orgueilleusement me penser son élève par adoption. Il m'est impossible de
......
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