@@ -60,7 +60,7 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
étant le $k$\nbd{}ème groupe d'homologie du nerf de $C$. À la lumière du
résultat de Gagna, ces groupes d'homologies sont simplement les groupes
d'homologie des espaces vus sous un autre angle. Afin d'éviter de potentielles
confusions à venir, nous appelerons désormais ces groupes d'homologie les
confusions à venir, nous appellerons désormais ces groupes d'homologie les
\emph{groupes d'homologie singulière} de $C$ et nous utiliserons la notation
$H^{\sing}_k(C)$.
...
...
@@ -68,7 +68,7 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
définis par Métayer dans \cite{metayer2003resolutions}. La définition de
ceux-ci repose sur la notion de \emph{$\oo$\nbd{}catégorie libre sur un
polygraphe} (aussi connue sous le nom de \emph{computade}), c'est-à-dire
d'$\oo$\nbd{}catégorie obtenue de manière récursive à partir de la catégorie
de $\oo$\nbd{}catégorie obtenue de manière récursive à partir de la catégorie
vide en attachant librement des cellules. Désormais, nous dirons simplement
\emph{$\oo$\nbd{}catégorie libre}. Il a été observé par Métayer que toute
$\oo$\nbd{}catégorie $C$ admet une \emph{résolution polygraphique},
...
...
@@ -152,7 +152,7 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
Par ailleurs, la catégorie $\oo\Cat$ peut être munie d'une structure de
catégorie de modèles, communément appelée \emph{la structure de catégorie de modèles folk}
\cite{lafont2010folk}, dont les équivalences faibles sont les
\emph{équivalences d'$\oo$\nbd{}catégories} (notion généralisant celle des équivalences de
\emph{équivalences de $\oo$\nbd{}catégories} (notion généralisant celle des équivalences de
catégories) et dont les objets cofibrants sont les $\oo$\nbd{}catégories
libres \cite{metayer2008cofibrant}. Les résolutions polygraphiques ne sont alors
rien d'autre que des remplacements cofibrants pour cette structure de catégorie de modèles.
...
...
@@ -172,7 +172,7 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
aucune originalité concernant ce point précis.
D'autre part, le foncteur $\lambda$ est aussi dérivable à gauche quand
$\oo\Cat$ est munie des équivalences faibles, ce qui permet d'obtenir un
$\oo\Cat$ est munie des équivalences de Thomason, ce qui permet d'obtenir un
foncteur dérivé à gauche
\[
\LL\lambda^{\Th} : \ho(\oo\Cat^{\Th})\to\ho(\Ch).
...
...
@@ -184,8 +184,8 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
connaissance, du moins). Notons également que, puisque l'existence d'une
structure de catégorie de modèles \og à la Thomason \fg{} sur $\oo\Cat$
est toujours conjecturale, les outils habituels de la théorie de Quillen des
catégories de modèles n'étaient pas permis pour démontrer que $\lambda$était
dérivable à gauche. La difficulté de ce résultat fût de trouver un moyen de
catégories de modèles sont inutilisables pour démontrer que $\lambda$est
dérivable à gauche. La difficulté fut de trouver un moyen de
contourner ce problème.
Désormais, on posera
...
...
@@ -208,9 +208,9 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
\]
Ce triangle n'est \emph{pas} commutatif (même à un isomorphisme près), car
cela impliquerait que les groupes d'homologie singulière et les groupes
d'homologie polygraphique coïncident pour tout $\oo$\nbd{}catégorie.
d'homologie polygraphique coïncident pour toute$\oo$\nbd{}catégorie.
Néanmoins, puisque les foncteurs $\LL\lambda^{\folk}$ et $\LL\lambda^{\Th}$
sont tous les deux des foncteurs dérivés à gauche du même focteur, l'existence
sont tous les deux des foncteurs dérivés à gauche du même foncteur, l'existence
d'une transformation naturelle $\pi : \LL\lambda^{\Th}\circ\J
\Rightarrow\LL\lambda^{\folk}$ découle formellement par propriété
universelle. De plus, $\J$ étant l'identité sur les objets, cette
...
...
@@ -219,7 +219,7 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
\[
\pi_C : \sH^{\sing}(C)\to\sH^{\pol}(C),
\]
que nous appelerons le \emph{morphisme de comparaison canonique}. De plus,
que nous appellerons le \emph{morphisme de comparaison canonique}. De plus,
une $\oo$\nbd{}catégorie $C$ est qualifiée d'\emph{homologiquement cohérente} si $\pi_C$ est
un isomorphisme (ce qui signifie exactement que le
morphisme induit $H^{\sing}_k(C)\to
...
...
@@ -232,7 +232,7 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
que nous rencontrerons, c'est toujours à la question \textbf{(Q')} que nous répondrons.
Comme il sera expliqué dans la thèse, de cette
reformulation en terme de foncteurs dérivés il est également possible de déduire formellement que l'homologie polygraphique n'est \emph{pas} invariante
reformulation en terme de foncteurs dérivés, il est également possible de déduire formellement que l'homologie polygraphique n'est \emph{pas} invariante
relativement aux équivalences de Thomason. Cela signifie qu'il existe au moins
une équivalence de Thomason $f : C \to D$ telle que le morphisme induit en
homologie polygraphique
...
...
@@ -242,7 +242,7 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
n'est \emph{pas} un isomorphisme. En d'autres termes, si nous voyons les
$\oo$\nbd{}catégories comme modèles des types d'homotopie (via la
localisation de $\oo\Cat$ relativement aux équivalences de Thomason), alors
l'homologie polygraphique n'est \emph{pas} un invartiant bien défini. Un autre
l'homologie polygraphique n'est \emph{pas} un invariant bien défini. Un autre
point de vue possible serait de considérer que l'homologie polygraphique est
un invariant intrinsèque des $\oo$\nbd{}catégories (et non pas à équivalence
de Thomason près) et, de cette façon, est un invariant plus fin que
...
...
@@ -288,7 +288,7 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
sont répartis sur plusieurs chapitres; une version plus condensée de celle-ci
se trouve dans l'article \cite{guetta2020homology}. Parmi les nouvelles notions
développées, la plus significative est probablement celle
d'$\oo$\nbd{}foncteur de Conduché discret. Un $\oo$\nbd{}foncteur $f : C \to
de $\oo$\nbd{}foncteur de Conduché discret. Un $\oo$\nbd{}foncteur $f : C \to
D$ est un \emph{$\oo$\nbd{}foncteur de Conduché discret} quand pour toute
cellule $x$ de $C$, si $f(x)$ peut être décomposé en
\[
...
...
@@ -310,10 +310,10 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
des (1\nbd{})catégories, les 2\nbd{}catégories ne sont pas toutes
homologiquement cohérentes et la situation est beaucoup plus compliquée. En
premier lieu, on peut se restreindre aux $2$\nbd{}catégories qui sont libres
(en tant qu'$\oo$\nbd{}catégories) et c'est ce qui est fait dans cette thèse.
(en tant que $\oo$\nbd{}catégories) et c'est ce qui est fait dans cette thèse.
Avec cette hypothèse simplificatrice, le problème de caractérisation des
$2$\nbd{}catégories libres homologiquement cohérentes peut être réduit à la
question suivante : Soit un carré cocartésien de la forme
question suivante : soit un carré cocartésien de la forme
\[
\begin{tikzcd}
\sS_1\ar[r]\ar[d]& P \ar[d]\\
...
...
@@ -324,7 +324,7 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
cocartésien} relativement aux équivalences de Thomason? En conséquence, une
partie substantielle du travail présenté ici consiste à développer des outils
permettant de reconnaître les carrés homotopiquement cocartésiens de
$2$\nbd{}catégories relativement aux équivalences Thomason. Bien que les
$2$\nbd{}catégories relativement aux équivalences de Thomason. Bien que les
outils qui seront présentés ne permettent pas de répondre entièrement à la
question ci-dessus, ils permettent tout de même de détecter de tels carrés
cocartésiens dans beaucoup de situations concrètes. Il y a même une section
...
...
@@ -341,8 +341,7 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
rencontrée plus haut (c'est-à-dire le monoïde commutatif $(\mathbb{N},+)$ vu
comme une $2$\nbd{}catégorie). Comme dit précédemment, cette
$2$\nbd{}catégorie n'est pas homologiquement cohérente et cela ne semble pas
être une coïncidence. Il est tout à fait remarquable que de tous les nombreux
exemples de $2$\nbd{}catégories présentés dans cette thèse, les seules qui ne
être une coïncidence. Il est tout à fait remarquable que de toutes les nombreuses $2$\nbd{}catégories étudiées dans cette thèse, les seules qui ne
sont pas homologiquement cohérentes sont exactement celles qui ne sont
\emph{pas} sans bulles. Cela conduit à la conjecture ci-dessous, qui est le
point d'orgue de la thèse.
...
...
@@ -378,14 +377,14 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
récursivement obtenues à partir de la $\oo$\nbd{}catégorie vide en attachant librement
des cellules, ce qui est l'analogue formelle du cas strict. Le point clé ici
est qu'une $\oo$\nbd{}catégorie stricte libre n'est \emph{jamais} libre en
tant qu'$\oo$\nbd{}catégorie faible (excepté la $\oo$\nbd{}catégorie vide).
tant que $\oo$\nbd{}catégorie faible (excepté la $\oo$\nbd{}catégorie vide).
Par ailleurs, il existe de bons candidats pour l'homologie polygraphique des
$\oo$\nbd{}catégories faibles qui sont obtenus par mimétisme de la
définition du cas strict. Mais il n'y aucune raison en général que
l'homologie polygraphique d'une $\oo$\nbd{}catégorie stricte soit la même
que son \og homologie polygraphique faible \fg{}. En effet, puisque les
$\oo$\nbd{}catégories strictes libres ne sont pas libres en tant
qu'$\oo$\nbd{}catégories faibles, prendre une \og résolution polygraphique
que $\oo$\nbd{}catégories faibles, prendre une \og résolution polygraphique
faible \fg{} d'une $\oo$\nbd{}catégorie libre ne revient pas à
prendre une résolution polygraphique. De fait, lorsqu'on essaye de calculer
l'homologie polygraphique de $B$, il semblerait que cela donne les groupes
...
...
@@ -423,9 +422,9 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
grand soin les $\oo$\nbd{}catégories libres, qui sont au c\oe{}ur de cette
thèse. C'est le seul chapitre de la thèse qui ne contient aucune référence à
la théorie de l'homotopie. C'est également dans ce chapitre que nous introduirons la notion
d'$\oo$\nbd{}foncteur de Conduché discret et que nous étudierons leur
de $\oo$\nbd{}foncteur de Conduché discret et que nous étudierons leur
relation avec les $\oo$\nbd{}catégories libres. Le point
culminant du chapitre étant le Théorème \ref{thm:conduche}, qui dit que pour
culminant du chapitre étant le théorème \ref{thm:conduche}, qui dit que pour
un $\oo$\nbd{}foncteur de Conduché discret $F : C \to D$, si $D$ est libre,
alors $C$ l'est aussi. La démonstration de ce théorème est longue et
technique et est décomposée en plusieurs parties distinctes.
...
...
@@ -443,31 +442,31 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
des $\oo$\nbd{}catégories. C'est là que seront définies et comparées entre elles les différentes
notions d'équivalences faibles pour les $\oo$\nbd{}catégories. Les deux
résultats les plus significatifs de ce chapitre sont probablement
Proposition \ref{prop:folkisthom}, qui dit que toute équivalence de
$\oo$\nbd{}catégorie est une équivalence de Thomason, et Théorème
la proposition \ref{prop:folkisthom}, qui dit que toute équivalence de
$\oo$\nbd{}catégorie est une équivalence de Thomason, et le théorème
\ref{thm:folkthmA}, qui dit que les équivalences de $\oo$\nbd{}catégories
satisfont une propriété réminiscente du théorème A de Quillen \cite[Theorem
A]{quillen1973higher} et sa généralisation $\oo$\nbd{}catégorique par Ara
et Maltsiniotis \cite{ara2018theoreme,ara2020theoreme}.
Dans le quatrième chapitre, nous définierons les homologies polygraphique et
Dans le quatrième chapitre, nous définirons les homologies polygraphique et
singulière des $\oo$\nbd{}catégories et fomulerons précisément le problème
de leur comparaison. Jusqu'à la Section \ref{section:polygraphichmlgy}
de leur comparaison. Jusqu'à la section \ref{section:polygraphichmlgy}
incluse, tous les résultats étaient connus avant cette thèse (au moins dans
le folklore), mais à partir de la Section \ref{section:singhmlgyderived}
tous les résultats sont orignaux. Trois résultats fondamenteux de ce
chapitre sont les suivants : Théorème \ref{thm:hmlgyderived}, qui dit que
le folklore), mais à partir de la section \ref{section:singhmlgyderived}
tous les résultats sont orignaux. Trois résultats fondamentaux de ce
chapitre sont les suivants : le théorème \ref{thm:hmlgyderived}, qui dit que
l'homologie singulière s'obtient comme le foncteur dérivé d'un foncteur
d'abélianisation, Proposition \ref{prop:criteriongoodcat}, qui donne un
d'abélianisation, la proposition \ref{prop:criteriongoodcat}, qui donne un
critère abstrait pour détecter les $\oo$\nbd{}catégories homologiquement
cohérentes, et Proposition \ref{prop:comphmlgylowdimension}, qui dit que les
cohérentes, et la proposition \ref{prop:comphmlgylowdimension}, qui dit que les
groupes d'homologies polygraphique et singulière coïncident toujours en basse
dimension.
Le cinquième chapitre a pour but de démontrer le Théorème fondamental
Le cinquième chapitre a pour but de démontrer le théorème fondamental
\ref{thm:categoriesaregood}, qui dit que toute catégorie est homologiquement
cohérente. Pour cela, nous nous intéresserons en premier lieu
à une classe particulière d'$\oo$\nbd{}catégories, dites
à une classe particulière de $\oo$\nbd{}catégories, dites
\emph{contractiles}, et nous montrerons que toute $\oo$\nbd{}catégorie
contractile est homologiquement cohérente (Proposition
\ref{prop:contractibleisgood}).
...
...
@@ -481,7 +480,7 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
de l'homotopie des ensembles bisimpliciaux. Ensuite, nous appliquerons ce
critère ainsi que d'autres techniques \emph{ad hoc} au calcul du type d'homotopie d'un grand
nombre de $2$\nbd{}catégories libres. La conclusion du chapitre est la
Conjecture \ref{conjecture:bubblefree}, qui énonce qu'une $2$\nbd{}catégorie
conjecture \ref{conjecture:bubblefree}, qui énonce qu'une $2$\nbd{}catégorie
libre est homologiquement cohérente si et seulement si elle est sans bulles.
