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......@@ -76,8 +76,9 @@ for the category of (strict) $\oo$\nbd{}categories.
that satisfies properties formally resembling those of trivial fibrations of
topological spaces (or of simplicial sets). Furthermore, every free
$\oo$\nbd{}category $P$ can be ``abelianized'' to a chain complex $\lambda(P)$ and
Métayer proved that for two different polygraphic resolutions of the same
$\oo$\nbd{}category, $P \to C$ and $P' \to C$, the chain complexes
Métayer proved that for two different polygraphic resolutions $P \to C$ and
$P' \to C$ of the same
$\oo$\nbd{}category $C$, the chain complexes
$\lambda(P)$ and $\lambda(P')$ are quasi-isomorphic. Hence, we can define the
\emph{$k$-th polygraphic homology group} of $C$, denoted by $H_k^{\pol}(C)$,
as the $k$-th homology group of $\lambda(P)$ for any polygraphic resolution $P
......@@ -102,8 +103,8 @@ for the category of (strict) $\oo$\nbd{}categories.
\cite{guiraud2006termination,lafont2007algebra,guiraud2009higher,guiraud2018polygraphs}. However, interestingly
enough, the general answer to the above question is \emph{no}. A
counterexample was found by Maltsiniotis and Ara. Let $B$ be the commutative
monoid $(\mathbb{N},+)$, seen as a $2$-category with only one $0$-cell and no
non-trivial $1$-cells. This $2$-category is free (as an $\oo$\nbd{}category)
monoid $(\mathbb{N},+)$, seen as a $2$\nbd{}category with only one $0$\nbd{}cell and no
non-trivial $1$-cells. This $2$\nbd{}category is free (as an $\oo$\nbd{}category)
and a quick computation shows that:
\[
H_k^{\pol}(B)=\begin{cases} \mathbb{Z} &\text{ if } k=0,2 \\ 0 &\text{
......
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......@@ -86,7 +86,7 @@
\begin{tabular}{ll}
\textbf{M. Benoît Fresse} (Prof., Université de Lille) & Rapporteur \\
\textbf{Mme Eugenia Cheng} (Prof., School of the Art Institute) & Examinatrice \\
\textbf{M. Carlos Simpson} (DR CNRS, Université de Nice) & Examinateur \\
\textbf{M. Carlos Simpson} (DR CNRS, Université de Nice) & Président du jury \\
\textbf{M. Samuel Mimram} (Prof., École Polytechnique) & Examinateur \\
\textbf{M. Georges Maltsiniotis} (DR CNRS, Université de Paris) & Examinateur \\
\textbf{M. François Métayer} (MCF, Université de Paris Nanterre) & Directeur de Thèse \\
......@@ -126,7 +126,7 @@ notion de $2$\nbd{}catégorie \emph{sans bulles} et on conjecture qu'une
$2$\nbd{}catégorie cofibrante est homologiquement cohérente si et seulement si
elle est sans bulles. On démontre également des résultats importants concernant
les $\oo$\nbd{}catégories strictes qui sont libres sur un polygraphe, comme
le fait que si $F : C \to D$ est un $\oo$\nbd{}foncteur discret de Conduché et
le fait que si $F : C \to D$ est un $\oo$\nbd{}foncteur de Conduché discret et
si $D$ est libre sur un polygraphe alors $C$ l'est aussi. Dans son ensemble,
cette thèse établit un cadre général dans lequel étudier l'homologie des
$\oo$\nbd{}catégories en faisant appel à des outils d'algèbre homotopique
......
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