Commit 83986a13 authored by Leonard Guetta's avatar Leonard Guetta
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parent 8eb2617c
......@@ -200,7 +200,7 @@ for the category of (strict) $\oo$\nbd{}categories.
\end{tikzcd}
\]
This triangle is \emph{not} commutative (even up to isomorphism), since this
would imply that the Street and polygraphic homology groups coincide for every
would imply that the singular and polygraphic homology groups coincide for every
$\oo$\nbd{}category. However, since both functors $\LL \lambda^{\folk}$ and
$\LL \lambda^{\Th}$ are left derived functors of the same functor $\lambda$,
the existence of a natural transformation $\pi : \LL \lambda^{\Th} \circ \J
......@@ -295,7 +295,7 @@ for the category of (strict) $\oo$\nbd{}categories.
f(x')=y',\, f(x'')=y'' \text{ and } x=x'\comp_k x''.
\]
The main result that we prove concerning discrete Conduché $\oo$\nbd{}functors
is that for a discrete $\oo$\nbd{}functor $f : C \to D$, if the
is that for a discrete Conduché $\oo$\nbd{}functor $f : C \to D$, if the
$\oo$\nbd{}category $D$ is free, then $C$ is also free. The proof of this
result is long and tedious, though conceptually not extremely hard, and first
appears in the paper \cite{guetta2020polygraphs}, which is dedicated to it.
......@@ -362,7 +362,8 @@ for the category of (strict) $\oo$\nbd{}categories.
For example, it is believed that there should be a folk model structure on the
category of weak $\oo$\nbd{}categories and that there should be a good notion
of free weak $\oo$\nbd{}category. In fact, this last notion should be defined
as weak $\oo$\nbd{}categories that are recursively obtained by freely
as weak $\oo$\nbd{}categories that are recursively obtained from the empty
$\oo$\nbd{}catégory by freely
adjoining cells, which is the formal analogue of the strict version but in the
weak context. The important point here is that a free strict
$\oo$\nbd{}category is \emph{never} free as a weak $\oo$\nbd{}category (except
......@@ -384,7 +385,7 @@ for the category of (strict) $\oo$\nbd{}categories.
of its polygraphic homology in the first place. From this observation, it is
tempting to make the following conjecture:
\begin{center}
The weak polygraphic homology of a (strict) $\oo$\nbd{}category coincides
The weak polygraphic homology of a strict $\oo$\nbd{}category coincides
with its singular homology.
\end{center}
In other words, we conjecture that the fact that polygraphic and singular
......@@ -402,8 +403,8 @@ for the category of (strict) $\oo$\nbd{}categories.
Grothendieck's conjecture (see \cite{grothendieck1983pursuing} and
\cite[Section 2]{maltsiniotis2010grothendieck}), the category of
weak $\oo$\nbd{}groupoids equipped with the weak equivalences of weak
$\oo$\nbd{}groupoids (see Paragraph 2.2 of
\cite{maltsiniotis2010grothendieck}) is a model for the homotopy
$\oo$\nbd{}groupoids (see
\cite[Paragraph 2.2]{maltsiniotis2010grothendieck}) is a model for the homotopy
theory of spaces. In particular, every weak $\oo$\nbd{}groupoid has
homology groups and we can define the singular homology groups of a
weak $\oo$\nbd{}category $C$ as the homology groups of $L(C)$.
......
\chapter*{Introduction (français)}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Introduction (français)} %% For this chapter to
%% appear in toc
\selectlanguage{french}
Cette thèse a pour cadre général la \emph{théorie de l'homotopie des
$\oo$\nbd{}catégories strictes}, et, comme son titre le suggère, ce sont les
aspects homologiques de cette théorie qui sont traîtés. Le but est d'étudier et de
......@@ -16,8 +16,8 @@ quasi\nbd{}isomorphismes).
Avant d'entrer dans le vif du sujet, précisons sans plus tarder qu'à
l'unique exception de la toute fin de cette introduction, toutes les
$\oo$\nbd{}catégories que nous considérons sont des $\oo$\nbd{}catégories
\emph{strictes}. C'est pourquoi nous omettrons l'adjectif \guillemotleft
strict\guillemotright{} et parlerons simplement d'\emph{$\oo$\nbd{}catégorie} plutôt
\emph{strictes}. C'est pourquoi nous omettrons l'adjectif \og
strict\fg{} et parlerons simplement d'\emph{$\oo$\nbd{}catégorie} plutôt
que d'\emph{$\oo$\nbd{}catégorie stricte}. De même, nous noterons $\oo\Cat$ plutôt que
$\mathbf{Str}\oo\Cat$ pour la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
......@@ -80,7 +80,7 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ pour la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
\]
satisfaisant des propriétés analogues à celles des fibrations triviales
d'espaces topologiques (ou d'ensemples simpliciaux). De plus, toute
$\oo$\nbd{}catégorie libre $P$ peut être \guillemotleft abélianisée \guillemotright{} en un complexe de
$\oo$\nbd{}catégorie libre $P$ peut être \og abélianisée \fg{} en un complexe de
chaîne $\lambda(P)$ et il a été démontré par Métayer que pour deux résolutions
polygraphiques $P \to C$ et $P' \to
C$ d'une même $\oo$\nbd{}catégorie, les complexes de chaînes $\lambda(P)$ et $\lambda(P')$ sont
......@@ -128,7 +128,7 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ pour la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
intrinsèquement intéressantes pour la théorie des $\oo$\nbd{}catégories et
dont les raisons d'être dépassent les considérations homologiques précédentes.
\end{named}
\begin{named}[Une autre façon de formuler le problème] Un des accomplissements
\begin{named}[Une autre formulation du problème] Un des accomplissements
du travail présenté ici est l'établissement d'un cadre conceptuel qui permet
une reformulation plus abstraite et plus satisfaisante de la question
de comparaison de l'homologie polygraphique et de l'homologie singulière des
......@@ -148,13 +148,323 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ pour la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
\]
En outre, pour une $\oo$\nbd{}catégorie \emph{libre} $C$, le complexe de
chaînes $\lambda(C)$ est exactement celui obtenu par le processus
d'\guillemotleft abélianisation \guillemotright
d'\og abélianisation \fg{}
que Métayer utilise dans sa définition d'homologie polygraphique.
Par ailleurs, la catégorie $\oo\Cat$ peut être munie d'une structure de
modèle, communément appelée \emph{la structure de modèle folk}
\cite{lafont2010folk}, dont les équivalences faibles sont les
\emph{équivalences d'$\oo$\nbd{}catégories} (notion généralisant celle des équivalences de
catégories) et dont les objets cofibrants sont les $\oo$\nbd{}catégories
libres \cite{metayer2008cofibrant}. Les résolutions polygraphiques ne sont alors
rien d'autres que des remplacements cofibrants pour cette structure de modèle.
Comme la définition des groupes d'homologie polygraphique le laissait deviner,
le foncteur $\lambda$ est Quillen à gauche relativement à cette structure de
modèle. En particulier, ce foncteur admet un foncteur dérivé à gauche
\[
\LL \lambda^{\folk} : \ho(\oo\Cat^{\folk}) \to \ho(\Ch)
\]
et on a tautologiquement $H_k^{\pol}(C) = H_k(\LL \lambda^{\folk}(C))$ pour
tout $\oo$\nbd{}catégorie $C$ et pour tout $k\geq 0$. Désormais, on posera même
\[
\sH^{\pol}(C):=\LL \lambda^{\folk}(C).
\]
Je précise que cette façon de comprendre l'homologie polygraphique comme foncteur dérivé à
gauche fait partir du folklore depuis un certain temps et je ne prétend à
aucune originalité concernant ce point précis.
D'autre part, le foncteur $\lambda$ est aussi dérivable à gauche quand
$\oo\Cat$ est munie des équivalences faibles, ce qui permet d'obtenir un
foncteur dérivé à gauche
\[
\LL \lambda^{\Th} : \ho(\oo\Cat^{\Th}) \to \ho(\Ch).
\]
En outre, ce foncteur est tel que $ H_k^{\sing}(C) = H_k(\LL
\lambda^{\Th}(C))$ pour toute $\oo$\nbd{}catégorie $C$ et pour tout $k \geq
0$. Contrairement au cas \og folk \fg{}, ce résultat est
complètement nouveau et apparaît pour la première fois dans ce manuscrit (à ma
connaissance, du moins). Notons également que, puisque l'existence d'une
structure de modèle \og à la Thomason \fg{} sur $\oo\Cat$
est toujours conjecturale, les outils habituels de la théorie de Quillen des
catégories de modèle n'étaient pas permis pour démontrer que $\lambda$ était
dérivable à gauche. La difficulté de ce résultat fût de trouver un moyen de
contourner ce problème.
Désormais, on posera
\[
\sH^{\sing}(C):=\LL \lambda^{\Th}(C).
\]
Et finalement, on peut montrer que toute équivalence de $\oo$\nbd{}catégories
est une équivalence de Thomason. Ainsi, le foncteur identité de $\oo\Cat$
induit formellement un foncteur $\J$ au niveau des catégories homotopiques
\[
\J : \ho(\oo\Cat^{\folk}) \to \ho(\oo\Cat^{\Th}),
\]
et obtient donc un triangle
\[
\begin{tikzcd}
\ho(\oo\Cat^{\folk}) \ar[rd,"\LL \lambda^{\folk}"'] \ar[r,"\J"] & \ho(\oo\Cat^{\Th}) \ar[d,"\LL \lambda^{\Th}"] \\
& \ho(\Ch).
\end{tikzcd}
\]
Ce triangle n'est \emph{pas} commutatif (même à un isomorphisme près), car
cela impliquerait que les groupes d'homologie singulière et les groupes
d'homologie polygraphique coïncident pour tout $\oo$\nbd{}catégorie.
Néanmoins, puisque les foncteurs $\LL \lambda^{\folk}$ et $\LL \lambda^{\Th}$
sont tous les deux des foncteurs dérivés à gauche du même focteur, l'existence
d'une transformation naturelle $\pi : \LL \lambda^{\Th} \circ \J
\Rightarrow \LL \lambda^{\folk}$ découle formellement par propriété
universelle. De plus, $\J$ étant l'identité sur les objets, cette
transformation naturelle fournit pour toute $\oo$\nbd{}catégorie $C$ un
morphisme
\[
\pi_C : \sH^{\sing}(C) \to \sH^{\pol}(C),
\]
que nous appelerons le \emph{morphisme de comparaison canonique}. De plus,
une $\oo$\nbd{}catégorie $C$ est qualifiée d'\emph{homologiquement cohérente} si $\pi_C$ est
un isomorphisme (ce qui signifie exactement que pour tout $k \geq 0$, le
morphisme induit $H^{\sing}_k(C) \to
H_k^{\pol}(C)$ est un isomorphisme). La question devient alors :
\begin{center}
\textbf{(Q')} Quelles $\oo$\nbd{}catégories sont homologiquement cohérentes ?
\end{center}
Notons au passage que la question \textbf{(Q')} est théoriquement plus précise
que la question \textbf{(Q)} car l'isomorphisme entre les groupes d'homologie
polygraphique et singulière est imposé. Pratiquement cela
ne change rien car lorsque nous prouverons que l'homologie polygraphique
coincide avec l'homologie singulière ce sera toujours via le morphisme de
comparaison canonique. Et réciproquement, lorsque nous montrerons qu'une
$\oo$\nbd{}catégorie n'est pas homologiquement cohérente, nous écarterons tout
isormophisme possible.
Comme il sera expliqué dans la thèse, de cette
reformulation en terme de foncteurs dérivés il est également possible de déduire formellement que l'homologie polygraphique n'est \emph{pas} invariante
relativement aux équivalences de thomason. Cela signifie qu'il existe au moins
une équivalence thomason $f : C \to D$ telle que le morphisme induit en
homologie polygraphique
\[
\sH^{\pol}(C) \to \sH^{\pol}(D)
\]
n'est \emph{pas} un isomorphisme. En d'autres termes, si nous voyons les
$\oo$\nbd{}catégories comme modèles des types d'homotopie (via la
localisation de $\oo\Cat$ relativement aux équivalences de thomason), alors
l'homologie polygraphique n'est \emph{pas} un invartiant bien défini. Un autre
point de vue possible serait de considérer que l'homologie polygraphique est
un invariant intrinsèque des $\oo$\nbd{}catégories (et non pas à équivalence
de thomason près) et, de cette façon, est un invariant plus fin que
l'homologie singulière. Ce n'est pas le point de vue adopté dans cette thèse
et la raison de ce choix sera motivée à la fin de cette introduction. Le
slogan à retenir est :
\begin{center}
L'homologie polygraphique est un moyen de calculer les groupes d'homologie
singulière des $\oo$\nbd{}catégories homologiquement cohérentes.
\end{center}
L'idée étant que pour une $\oo$\nbd{}catégorie $P$ qui est supposée être libre
(et est donc sa propre résolution polygraphique), le complexe de chaîne
$\lambda(P)$ est beaucoup moins \og gros \fg{} que le
complexe de chaîne associé au nerf de $P$, et ainsi les groupes d'homologie
polygraphique de $P$ sont beaucoup plus faciles à calculer que les groupes
d'homologie singulière. La situation est comparable à l'utilisation de
l'homologie cellulaire afin de calculer les groupes d'homologie singulière
d'un cw-complexe. La différence étant que dans ce dernier cas il est toujours
possible de procéder ainsi, alors que dans le cas des $\oo$\nbd{}catégories,
on doit d'abord s'assurer que la $\oo$\nbd{}catégorie (libre) en question est
bien homologiquement cohérente.
\end{named}
\begin{named}[Détecter les $\oo$-catégories qui sont homologiquement cohérentes]
Un des principaux résultats de cette thèse est le suivant :
\begin{center}
Toute (petite) catégorie est homologiquement cohérente.
\end{center}
Afin de donner du sens à cette assertion, il faut considérer les catégories comme
des $\oo$\nbd{}catégories dont les cellules au delà de la dimension $1$ sont
des unités. Le résultat ci-dessus n'est pas pour autant trivial car pour une
résolution polygraphique $P \to C$ d'une petite catégorie $C$, la
$\oo$\nbd{}catégorie $P$, elle, n'a pas forcément que des cellules
unités au delà de la dimension 1.
En tant que tel, ce résultat est seulement une petite généralisation du
résultat de Lafont et Métayer sur les monoïdes (bien qu'il soit plus précis, même retreint aux
monoïdes, car il dit que c'est le \emph{morphisme de comparaison
canonique} qui est un isomorphisme). Mais la véritable nouveauté du résultat en
est sa démonstration qui est plus conceptuelle que celle de Lafont et Métayer. Elle
repose sur l'introduction de nouvelles notions et le développement de
nouveaux résultats; le tout s'assemblant élégamment pour finalement produire le
résultat voulu. Cette thèse a été écrite de telle façon que tous ces élements
nécessaires à la démonstration du résultat précédent sont répartis sur plusieurs chapitres; une version
plus condensée de celle-ci se trouve l'article \cite{guetta2020homology}. Parmi les
nouvelles notions développées, la plus significative est probablement celle d'$\oo$\nbd{}foncteur de Conduché discret. Un $\oo$\nbd{}foncteur $f : C \to D$
est un \emph{$\oo$\nbd{}foncteur de Conduché discret} quand pour toute cellule
$x$ de $C$, si $f(x)$ peut être décomposé en
\[
f(x)=y'\comp_k y'',
\]
alors il existe une unique paire $(x',x'')$ de cellules de $C$ qui sont
$k$\nbd{}composables et telles que
\[
f(x')=y',\, f(x'')=y'' \text{ and } x=x'\comp_k x''.
\]
Le résultat principal démontré concernant cette notion est que pour tout
$\oo$\nbd{}foncteur de Conduché discret $f : C \to D$, si $D$ est libre alors
$C$ est aussi libre. La démonstration est longue et fastidieuse, bien que
relativement facile d'un point de vue conceptuel, et apparaît pour la première
fois dans le papier \cite{guetta2020polygraphs}, qui lui est dédié.
Une fois le cas de l'homologie des ($1$\nbd{})catégories complètement résolu,
il est naturel de s'intéresser aux $2$\nbd{}catégories. Contrairement au cas
des (1\nbd{})catégories, les 2\nbd{}catégories ne sont pas toutes
homologiquement cohérentes et la situation est beaucoup plus compliquée.
En premier lieu, on peut se restreindre aux
$2$\nbd{}catégories qui sont libres (en tant qu'$\oo$\nbd{}catégories) et c'est
ce qui est fait dans cette thèse. Avec cette hypothèse simplificatrice, le
problème de caractérisation des $2$\nbd{}catégories libres homologiquement
cohérentes peut être réduit à la question suivante :
soit un carré cocartésien de la forme
\[
\begin{tikzcd}
\sS_1 \ar[r] \ar[d] & P \ar[d]\\
\sD_2 \ar[r] & P', \ar[from=1-1,to=2-2,"\ulcorner",phantom,very near end]
\end{tikzcd}
\]
$P$ est une $2$\nbd{}catégorie libre, quand est-il \emph{homotopiquement
cocartésien} relativement aux équivalences de Thomason? En conséquence, une
partie substantielle du travail présenté ici consiste à développer des outils
permettant de reconnaître les carrés homotopiquement cocartésiens de
$2$\nbd{}catégories relativement aux équivalences Thomason. Bien que les
outils qui seront présentés ne permettent pas de répondre
entièrement à la question ci-dessus, ils permmetent tout de même de détecter
de tels carrés cocartésiens dans beaucoup de situations concrètes. Il y a même
une section entière de la thèse qui consiste uniquement en une liste
d'exemples détaillés de calculs du type d'homotopie de $2$\nbd{}catégories
libres en utilisant ces outils. De ces exemples se dégage très clairement une
classe particulière de $2$\nbd{}catégories, que j'ai nommées les \og
$2$\nbd{}catégories sans bulles \fg{} et qui sont caractérisées
comme suit. Pour une $2$\nbd{}catégorie, appelons \emph{bulle} une
$2$\nbd{}cellule non-triviale dont la source et le but sont des unités sur une
$0$\nbd{}cellule (nécessairement la même). Une \emph{$2$\nbd{}catégorie
sans bulles} est simplement une $2$\nbd{}catégorie qui n'a aucune bulle.
L'archétype de la $2$\nbd{}catégorie qui n'est \emph{pas} sans bulles est la
$2$\nbd{}catégorie $B$ que nous avons déjà rencontrée plus haut (c'est-à-dire
le monoïde commutatif $(\mathbb{N},+)$ vu comme une $2$\nbd{}catégorie). Comme
dit précédemment, cette $2$\nbd{}catégorie n'est pas homologiquement cohérente
et cela ne semble pas être une coïncidence. Il est tout à fait remarquable que
de tous les nombreux exemples de $2$\nbd{}catégories présentés dans cette thèse, les seules qui ne sont pas homologiquement cohérentes sont exactement
celles qui ne sont \emph{pas} sans bulles. Cela conduit à la conjecture
ci-dessous, qui est le point d'orgue de la thèse.
\begin{center}
\textbf{(Conjecture)} Une $2$\nbd{}catégorie libre est homologie cohérente
si et seulement si elle est sans bulles.
\end{center}
\end{named}
\begin{named}[Une vue d'ensemble]
Terminons cette introduction par un autre point
de vue sur la comparaison des homologies polygraphique et singulière.
Précisons immédiatement que ce point de vue est hautement conjectural et
n'est pas du tout abordé dans le reste de la thèse. Il s'agit plus d'un
guide pour des travaux futurs qu'autre chose.
De la même façon que les $2$\nbd{}catégories (strictes) sont des cas
particulier de bicatégories, les $\oo$\nbd{}catégories strictes sont en
réalité des cas particulier de ce qui est communément appelé des
\emph{$\oo$\nbd{}catégories faibles}. Ces objets mathématiques ont été
définis, par exemple, par Batanin en utilisant le formalisme des opérades
globulaires \cite{batanin1998monoidal} ou par Maltsiniotis en suivant des
idées de Grothendieck \cite{maltsiniotis2010grothendieck}. Tout comme la
théorie des quasi-catégories (qui est un modèle homotopique pour la théorie
des $\oo$\nbd{}catégories faibles dont les cellules sont toutes inversibles
au delà de la dimension 1) s'exprime avec le même langage que la théorie des
catégories usuelle, il est attendu que toutes les notions \og
intrinsèques \fg{} (dans un sens précis à définir) de la théorie des
$\oo$\nbd{}catégories strictes ont des analogues \emph{faibles}. Par
exemple, il est attendu qu'il y ait une structure de modèle folk sur la
catégorie des $\oo$\nbd{}catégories faibles et qu'il y ait une bonne notion
de $\oo$\nbd{}catégorie faible libre. En fait, ces dernières seraient
certainement définies comme les $\oo$\nbd{}catégories faibles qui sont
récursivement obtenues à partir de la $\oo$\nbd{}catégorie vide en attachant librement
des cellules, ce qui est l'analogue formelle du cas strict. Le point clé ici
est qu'une $\oo$\nbd{}catégorie stricte libre n'est \emph{jamais} libre en
tant qu'$\oo$\nbd{}catégorie faible (excepté la $\oo$\nbd{}catégorie vide).
Par ailleurs, il existe de bons candidats pour l'homologie polygraphique des
$\oo$\nbd{}catégories faibles qui sont obtenus par mimétisme de la
définition du cas strict. Mais il n'y aucune raison en général que
l'homologie polygraphique d'une $\oo$\nbd{}catégorie stricte soit la même
que son \og homologie polygraphique faible \fg{}. En effet, puisque les
$\oo$\nbd{}catégories strictes libres ne sont pas libres en tant
qu'$\oo$\nbd{}catégories faibles, prendre une \og résolution polygraphique
faible \fg{} d'une $\oo$\nbd{}catégorie libre ne revient pas à
prendre une résolution polygraphique. De fait, lorsqu'on essaye de calculer
l'homologie polygraphique de $B$, il semblerait que cela donne les groupes
d'homologie d'un $K(\mathbb{Z},2)$, ce qui aurait été attendu de l'homologie
polygraphique au départ. De cette observation, il est tentant de faire la
conjecture suivante :
\begin{center}
L'homologie polygraphique faible d'une $\oo$\nbd{]categorie stricte
coincide avec son homologie singulière. }
\end{center}
En d'autres termes, nous conjecturons que le fait que l'homologie
polygraphique et l'homologie singulière d'une $\oo$\nbd{}catégorie stricte
ne coïncident pas est un défaut dû à un cadre de travail trop étroit. La \og
bonne \fg{} définition de l'homologie polygraphique devrait être la faible.
Nous pourrions même aller plus loin et conjecturer la même chose pour les
$\oo$\nbd{}catégories faibles. Pour cela, il est nécessaire de disposer
d'une définition de l'homologie singulière des $\oo$\nbd{}catégories
faibles. Conjecturellement, on procède de la manière suivante. À toute
$\oo$\nbd{}catégorie faible $C$, on peut associer un $\oo$\nbd{}groupoïde
faible $L(C)$ en inversant formellement toutes les cellules de $C$. Puis, si
on en croit la conjecture de Grothendieck (voir
\cite{grothendieck1983pursuing} et \cite[Section
2]{maltsiniotis2010grothendieck}), la catégorie des $\oo$\nbd{}groupoïdes
faibles munie des équivalences de $\oo$\nbd{}groupoïdes faibles (voir
\cite[Paragraph 2.2]{maltsiniotis2010grothendieck}) est un modèle de la
théorie homotopique des espaces. En particulier, chaque $\oo$\nbd{}groupoïde
à des groupes d'homologie et on peut définir les groupes d'homologie
singulière d'une $\oo$\nbd{}catégorie faible $C$ comme les groupes
d'homologie de $L(C)$.
\end{named}
\begin{named}[Organisation de la thèse]
Dans le premier chapitre, nous passerons en revue quelques aspects de la
théorie des $\oo$\nbd{}catégories. En particulier, nous étudierons avec
grand soin les $\oo$\nbd{}catégories libres, qui son au coeur de cette
thèse. C'est le seul chapitre de la thèse qui ne contient aucune référence à
la théorie de l'homotopie. C'est également dans ce chapitre que nous introduirons la notion
d'$\oo$\nbd{}foncteur de Conduché discret et que nous étudierons leur
relation avec les $\oo$\nbd{}catégories libres. Le point
culminant du chapitre étant le Théorème \ref{thm:conduche}, qui dit que pour
un $\oo$\nbd{}foncteur de Conduché discret $F : C \to D$, si $D$ est libre,
alors $C$ l'est aussi. La démonstration de ce théorème est longue et
technique et est décomposée en plusieurs parties distinctes.
Le second chapitre a pour but de rappeler quelques outils d'algébre
homotopique. En particulier, les aspects élémentaires de la
théorie des colimites homotopiques en utilisant le formalisme de Grothendieck des
dérivateurs y sont rapidement présentés. Notons au passage que ce chapitre
ne contient \emph{aucun} résultat original et peut être omis en première
lecture. Son unique raison d'être est de donner au lecteur un catalogue de
résultats concernant les colimites homotopiques qui seront utilisés par la
suite.
Dans le troisième chapitre, nous aborderons enfin la théorie de l'homotopie
des $\oo$\nbd{}catégories. C'est là que seront définies et comparées entre elles les différentes
notions d'équivalences faibles pour les $\oo$\nbd{}catégories. Les deux
résultats les plus significatifs de ce chapitre sont probablement
Proposition \ref{prop:folkisthom}, qui dit que toute équivalence de
$\oo$\nbd{}catégorie est une équivalence de Thomason, et Théorème
\ref{thm:folkthmA}, qui dit que les équivalences de $\oo$\nbd{}catégories
satisfont une propriété réminiscente du théorème A de Quillen \cite[Theorem
A]{quillen1973higher} and sa généralisation $\oo$\nbd{}catégorique par Ara
et Maltsiniotis \cite{ara2018theoreme,ara2020theoreme}.
Dans le quatrième chapitre, nous définierons les homologies polygraphique et
singulière des $\oo$\nbd{}catégories et fomulerons précisément le problème
de leur comparaison. Jusqu'à la Section \ref{section:polygraphichmlgy}
incluse, tous les résultats étaient connues avant cette thèse (au moins dans
le folklore), mais à partir de la Section \ref{section:singhmlgyderived}
tous les résultats sont orignaux.
\end{named}
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% Layout
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......
......@@ -40,7 +40,7 @@
\[
\src_k(x)=\trgt_k(y).
\]
Note that the expression ``$x$ and $y$ are $k$\nbd{}composable'' is \emph{not} symmetric in $x$ and $y$ and we \emph{should} rather speak of a ``$k$\nbd{}composable pair $(x,y)$'', although we won't always do it. The set of pairs of $k$\nbd{}composable $n$\nbd{}cells is denoted by $X_n\underset{X_k}{\times}X_n$, and is characterized as the following fibred product
Note that the expression \og $x$ and $y$ are $k$\nbd{}composable\fg{} is \emph{not} symmetric in $x$ and $y$ and we \emph{should} rather speak of a ``$k$\nbd{}composable pair $(x,y)$'', although we won't always do it. The set of pairs of $k$\nbd{}composable $n$\nbd{}cells is denoted by $X_n\underset{X_k}{\times}X_n$, and is characterized as the following fibred product
\[
\begin{tikzcd}
X_n\underset{X_k}{\times}X_n \ar[r] \ar[dr,phantom,"\lrcorner", very near start] \ar[d] &X_n \ar[d,"\trgt_k"]\\
......
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