Commit 8eb2617c authored by Leonard Guetta's avatar Leonard Guetta
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......@@ -55,7 +55,7 @@ for the category of (strict) $\oo$\nbd{}categories.
\begin{named}[Two homologies for $\oo$-categories]
Keeping in mind the nerve functor of Street, a natural thing to do is to
define the \emph{$k$-th homology group of an $\oo$\nbd{}category $C$} as the
$k$-th homology group of the nerve of $C$. In light of Gagna's result, these
$k$\nbd{}th homology group of the nerve of $C$. In light of Gagna's result, these
homology groups are just another way of looking at the homology groups of
spaces. In order to explicitly avoid future confusion, we shall now use the
name \emph{singular homology groups} of $C$ for these homology groups and the
......@@ -67,15 +67,15 @@ for the category of (strict) $\oo$\nbd{}categories.
as \emph{$\oo$\nbd{}categories free on a computad}), which are
$\oo$\nbd{}categories that are obtained from the empty category by recursively
freely adjoining cells. From now on, we simply say \emph{free
$\oo$\nbd{}category}. Métayer observed that every $\oo$\nbd{}category admits
$\oo$\nbd{}category}. Métayer observed that every $\oo$\nbd{}category $C$ admits
what we call a \emph{polygraphic resolution}, which means that there exists a
free $\oo$\nbd{}category $P$ and a morphism of $\oo\Cat$
\[
f : P \to X
f : P \to C
\]
that satisfies properties formally resembling those of trivial fibrations of
topological spaces (or of simplicial sets). Furthermore, every free
$\oo$\nbd{}category can be ``abelianized'' to a chain complex $\lambda(P)$ and
$\oo$\nbd{}category $P$ can be ``abelianized'' to a chain complex $\lambda(P)$ and
Métayer proved that for two different polygraphic resolutions of the same
$\oo$\nbd{}category, $P \to C$ and $P' \to C$, the chain complexes
$\lambda(P)$ and $\lambda(P')$ are quasi-isomorphic. Hence, we can define the
......@@ -92,15 +92,14 @@ for the category of (strict) $\oo$\nbd{}categories.
\begin{equation}\label{naivequestion}\tag{\textbf{Q}}
\text{Do we have }H_k^{\pol}(C) \simeq H_k^{\sing}(C)\text{ for every }\oo\text{-category }C\text{ ? }
\end{equation}
\fi A partial answer to this question is given by Lafont and Métayer in
\fi A first partial answer to this question is given by Lafont and Métayer in
\cite{lafont2009polygraphic}: for a monoid $M$ (seen as category with one
object and hence as
an $\oo$\nbd{}category), we have $H_{\bullet}^{\pol}(M) \simeq
H_{\bullet}^{\sing}(M)$. In fact, the original motivation for polygraphic
homology was the homology of monoids and is part of a program that generalizes
to higher dimension the results of Squier on the rewriting theory of monoids
\cite{guiraud2006termination}, \cite{lafont2007algebra},
\cite{guiraud2009higher}, \cite{guiraud2018polygraphs}. However, interestingly
\cite{guiraud2006termination,lafont2007algebra,guiraud2009higher,guiraud2018polygraphs}. However, interestingly
enough, the general answer to the above question is \emph{no}. A
counterexample was found by Maltsiniotis and Ara. Let $B$ be the commutative
monoid $(\mathbb{N},+)$, seen as a $2$-category with only one $0$-cell and no
......@@ -130,7 +129,7 @@ for the category of (strict) $\oo$\nbd{}categories.
singular and polygraphic homology of
$\oo$\nbd{}categories. %As often, the reward for abstraction is a much clearer understanding of the problem.
In order to do so, recall first that by a variation of the Dold-Kan
In order to do so, recall first that by a variation of the Dold--Kan
equivalence (see for example \cite{bourn1990another}), the category of abelian
group objects in $\oo\Cat$ is equivalent to the category of non-negatively
graded chain complexes
......
......@@ -2,8 +2,8 @@
\addcontentsline{toc}{chapter}{Introduction (français)} %% For this chapter to
%% appear in toc
Le cadre général de cette thèse est celui de la \emph{théorie de l'homotopie des
$\oo$\nbd{}catégories strictes}, et, comme le titre le suggère, ce sont les
Cette thèse a pour cadre général la \emph{théorie de l'homotopie des
$\oo$\nbd{}catégories strictes}, et, comme son titre le suggère, ce sont les
aspects homologiques de cette théorie qui sont traîtés. Le but est d'étudier et de
comparer deux invariants homologiques différents associés aux
$\oo$\nbd{}catégories strictes; c'est-à-dire, deux foncteurs différents
......@@ -16,14 +16,14 @@ quasi\nbd{}isomorphismes).
Avant d'entrer dans le vif du sujet, précisons sans plus tarder qu'à
l'unique exception de la toute fin de cette introduction, toutes les
$\oo$\nbd{}catégories que nous considérons sont des $\oo$\nbd{}catégories
\emph{strictes}. C'est pourquoi nous laissons tomber l'adjectif \guillemotleft
strict\guillemotright{} et parlons simplement d'\emph{$\oo$\nbd{}catégorie} plutôt
que d'\emph{$\oo$\nbd{}catégorie stricte}. De même, nous notons $\oo\Cat$ plutôt que
\emph{strictes}. C'est pourquoi nous omettrons l'adjectif \guillemotleft
strict\guillemotright{} et parlerons simplement d'\emph{$\oo$\nbd{}catégorie} plutôt
que d'\emph{$\oo$\nbd{}catégorie stricte}. De même, nous noterons $\oo\Cat$ plutôt que
$\mathbf{Str}\oo\Cat$ pour la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
\begin{named}[Le contexte : les $\oo$-categories en tant qu'espaces] La théorie
de l'homotopie des $\oo$\nbd{}catégories commence avec le foncteur nerf
introduit par Street in \cite{street1987algebra}
introduit par Street \cite{street1987algebra}
\[
N_{\omega} : \oo\Cat \to \Psh{\Delta}
\]
......@@ -33,7 +33,7 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ pour la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
la théorie de l'homotopie des ensembles simpliciaux aux $\oo$\nbd{}catégories,
comme cela est fait par exemple dans les articles
\cite{ara2014vers,ara2018theoreme,gagna2018strict,ara2019quillen,ara2020theoreme,ara2020comparaison}.
Suivant la terminologie de ces derniers, un morphisme $f : C \to D$ of
Suivant la terminologie de ces derniers, un morphisme $f : C \to D$ de la catégorie
$\oo\Cat$ est une \emph{équivalence de Thomason} si $N_{\oo}(f)$ est une
équivalence faible (de Quillen) d'ensembles simpliciaux. Par définition, le
foncteur nerf induit un foncteur au niveau des catégories homotopiques
......@@ -43,15 +43,118 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ pour la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
$\ho(\oo\Cat^{\Th})$ est la localisation de $\oo\Cat$ relativement aux
équivalences de Thomason et $\ho(\Psh{\Delta})$ est la localisation de
$\Psh{\Delta}$ relativement aux équivalences faibles (de Quillen) d'ensembles
simpliciaux. Comme prouvé par Gagna \cite{gagna2018strict}, ce dernier foncteur est en
simpliciaux. Comme l'a démontré Gagna dans \cite{gagna2018strict}, ce dernier foncteur est en
fait une équivalence de catégories. Autrement dit, la théorie de l'homotopie
des $\oo$\nbd{}catégories induites par les équivalences de Thomason est la
des $\oo$\nbd{}catégories induite par les équivalences de Thomason est la
même que la théorie de l'homotopie des espaces. Le résultat de Gagna est une
généralisation du résultat analogue pour le nerf usuel des petites catégories,
attribué à Quillen dans \cite{illusie1972complexe}.
attribué à Quillen dans \cite{illusie1972complexe}. Dans le cas des petites
catégories, l'existence d'une structure de modèle dont les équivalences
faibles sont celles induites par le nerf a même été démontré par Thomason
\cite{thomason1980cat}. Le résultat analogue pour $\oo\Cat$ est toujours une
conjecture \cite{ara2014vers}.
\end{named}
\begin{named}[Deux homologies pour les $\oo$-catégories]
Armé du foncteur nerf de Street, il est naturel de
définir le \emph{$k$\nbd{}ème groupe d'homologie d'une $\oo$\nbd{}catégorie
$C$} comme étant le $k$\nbd{}ème groupe d'homologie du nerf de $C$. À la
lumière du résultat de Gagna, ces groupes d'homologies sont simplement les
groupes d'homologie des espaces vus sous un autre angle. Afin d'éviter de
potentielles confusions à venir, nous appelerons désormais ces groupes
d'homologie les \emph{groupes d'homologie singulière} de $C$ et nous
utiliserons la notation $H^{\sing}_k(C)$.
Par ailleurs, d'autres groupes d'homologie pour les $\oo$\nbd{}catégories ont
été définis par Métayer dans \cite{metayer2003resolutions}. La définition de
ceux-ci repose sur la notion de \emph{$\oo$\nbd{}catégorie libre sur un
polygraphe}, c'est-à-dire d'$\oo$\nbd{}catégorie obtenue de manière
récursive à partir de la
catégorie vide en attachant librement des cellules. Désormais, nous dirons
simplement \emph{$\oo$\nbd{}catégorie libre}. Il a été observé par Métayer que
toute $\oo$\nbd{}catégorie $C$ admet une \emph{résolution polygraphique},
c'est-à-dire qu'il existe une $\oo$\nbd{}catégorie libre $P$ et un morphisme
de $\oo\Cat$
\[
f : P \to C,
\]
satisfaisant des propriétés analogues à celles des fibrations triviales
d'espaces topologiques (ou d'ensemples simpliciaux). De plus, toute
$\oo$\nbd{}catégorie libre $P$ peut être \guillemotleft abélianisée \guillemotright{} en un complexe de
chaîne $\lambda(P)$ et il a été démontré par Métayer que pour deux résolutions
polygraphiques $P \to C$ et $P' \to
C$ d'une même $\oo$\nbd{}catégorie, les complexes de chaînes $\lambda(P)$ et $\lambda(P')$ sont
quasi-isomorphes. Ainsi, on peut définir le \emph{$k$\nbd{}ème groupe
d'homologie polygraphique} de $C$, noté $H_k^{\pol}(C)$, comme étant le
$k$\nbd{}ème groupe d'homologie de $\lambda(P)$ pour n'importe quelle
résolution polygraphique $P \to C$.
Il découle de ces considérations la question suivante :
\begin{center}
A-t-on $H_{\bullet}^{\pol}(C) \simeq H_{\bullet}^{\sing}(C)$ pour toute
$\oo$\nbd{}catégorie $C$ ?
\end{center}
Une première réponse partielle à cette question a été donnée par Lafont et
Métayer \cite{lafont2009polygraphic} : pour tout monoïde $M$ (vu comme une
catégorie à un seul objet, et \emph{a fortiori} comme une
$\oo$\nbd{}catégorie), on a $H_{\bullet}^{\pol}(M) \simeq
H_{\bullet}^{\sing}(M)$. Mentionnons au passage que l'homologie
polygraphique a été originellement concue pour étudier l'homologie des
monoïdes et fait partie d'un programme dont le but est de généraliser en
dimension supérieure les travaux de Squier sur la théorie de la réécriture des
monoïdes \cite{guiraud2006termination, lafont2007algebra, guiraud2009higher,
guiraud2018polygraphs}. Malgré le résultat de Lafont et Métayer, il est
remarquable que la réponse générale à la question précédente est \emph{non}.
Un contre-exemple a été découvert par Maltsiniotis et Ara. Soit $B$ le monoïde
commutative $(\mathbb{N},+)$, vu comme une $2$\nbd{}catégorie avec une seule
$0$\nbd{}cellule et pas de $1$\nbd{}cellule non-triviale. Cette
$2$\nbd{}catégorie est libre (en tant qu'$\oo$\nbd{}catégorie) et un calcul
rapide montre que:
\[
H_k^{\pol}(B)=\begin{cases} \mathbb{Z} &\text{ pour } k=0,2 \\ 0 &\text{
sinon. }\end{cases}
\]
D'autre part, Ara a démontré \cite[Theorem 4.9 and Example
4.10]{ara2019quillen} que le nerf de $B$ est un $K(\mathbb{Z},2)$, qui a donc
des groupes d'homologie non triviaux en toute dimension paire.
La question devient ainsi :
\begin{center}
\textbf{(Q)} Quelles sont les $\oo$\nbd{}catégories pour lesquelles $H_{\bullet}^{\pol}(C) \simeq H_{\bullet}^{\sing}(C)$?
\end{center}
Cette précisément à cette question que tente de répondre cette thèse.
Néanmoins, le lecteur trouvera dans ce document plusieurs notions nouvelles et
résultats qui, bien qu'originellement motivés par la question ci-dessus, sont
intrinsèquement intéressantes pour la théorie des $\oo$\nbd{}catégories et
dont les raisons d'être dépassent les considérations homologiques précédentes.
\end{named}
\begin{named}[Une autre façon de formuler le problème] Un des accomplissements
du travail présenté ici est l'établissement d'un cadre conceptuel qui permet
une reformulation plus abstraite et plus satisfaisante de la question
de comparaison de l'homologie polygraphique et de l'homologie singulière des
$\oo$\nbd{}catégories.
Pour cela, rappelons tout d'abord qu'une variation de l'équivalence de
Dold--Kan (voir par exemple \cite{bourn1990another}) permet d'affirmer que la
catégorie des objets en groupes abéliens dans la catégorie $\oo\Cat$ est
équivalente à la catégorie des complexes de chaînes en degré positifs
\[
\Ab(\oo\Cat) \simeq \Ch.
\]
Ainsi, on a un foncteur d'oubli $\Ch \simeq \Ab(\oo\Cat) \to \oo\Cat$, qui
admet un adjoint à gauche
\[
\lambda : \oo\Cat \to \Ch.
\]
En outre, pour une $\oo$\nbd{}catégorie \emph{libre} $C$, le complexe de
chaînes $\lambda(C)$ est exactement celui obtenu par le processus
d'\guillemotleft abélianisation \guillemotright
que Métayer utilise dans sa définition d'homologie polygraphique.
\end{named}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "main"
......
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