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\chapter{Homotopy and homology type of free 2-categories}
\chaptermark{Homology of free $2$-categories}
\section{Preliminaries: the case of free 1-categories}\label{section:prelimfreecat}
In this section, we review some homotopical results on free
($1$-)categories that will be of great help in the sequel.
......
\chapter{Homology of contractible \texorpdfstring{$\oo$}{ω}-categories and its consequences}
\chapter{Homology of contractible \texorpdfstring{$\oo$}{ω}-categories and its
consequences}
\chaptermark{Contractible $\omega$-categories and consequences}
\section{Contractible \texorpdfstring{$\oo$}{ω}-categories}
Recall that for every $\oo$\nbd{}category $C$, we write $p_C : C \to \sD_0$ for the canonical morphism to the terminal object of $\sD_0$.
\begin{definition}\label{def:contractible}
......
......@@ -526,8 +526,10 @@ From now on, we will consider that the category $\Psh{\Delta}$ is equipped with
\begin{remark}
All the results we have seen in this section are still true if we replace ``oplax'' by ``lax'' everywhere.
\end{remark}
\section{Equivalences of \texorpdfstring{$\oo$}{ω}-categories and the folk model
structure}
\section[Equivalences of \texorpdfstring{$\oo$}{ω}-categories and the folk model
structure]{Equivalences of \texorpdfstring{$\oo$}{ω}-categories and the folk model
structure%
\sectionmark{The folk model structure}}
\sectionmark{The folk model structure}
\begin{paragr}\label{paragr:ooequivalence}
Let $C$ be an $\omega$-category. We define the equivalence relation $\sim_{\omega}$ on the set $C_n$ by co-induction on $n \in \mathbb{N}$. For $x, y \in C_n$, we have $x \sim_{\omega} y $ when:
......@@ -639,7 +641,11 @@ For later reference, we put here the following trivial but important lemma, whos
See \cite[Proposition 5.1.2.7]{lucas2017cubical} or \cite{ara2019folk}.
\end{proof}
\fi
\section{Equivalences of \texorpdfstring{$\oo$}{ω}-categories vs Thomason equivalences}
\section[Equivalences of \texorpdfstring{$\oo$}{ω}-categories vs Thomason
equivalences ]{Equivalences of \texorpdfstring{$\oo$}{ω}-categories vs Thomason
equivalences%
\sectionmark{Folk vs Thomason}}
\sectionmark{Folk vs Thomason}
\begin{lemma}\label{lemma:nervehomotopical}
The nerve functor $N_{\omega} : \omega\Cat \to \Psh{\Delta}$ sends the equivalences of $\oo$\nbd{}categories to weak equivalences of simplicial sets.
\end{lemma}
......@@ -686,7 +692,7 @@ The nerve functor $N_{\omega} : \omega\Cat \to \Psh{\Delta}$ sends the equivalen
%% is the identity on objects.
This functor cannot be an equivalence since this would imply that every Thomason equivalence is an equivalence of $\oo$\nbd{}categories.
\end{paragr}
\section{Slice \texorpdfstring{$\oo$}{ω}-categories and a folk Theorem A}
\section{{Slice \texorpdfstring{$\oo$}{ω}-categories and folk Theorem~A}}
\begin{paragr}\label{paragr:slices}
Let $A$ be an $\oo$\nbd{}category and $a_0$ an object of $A$. We define the slice $\oo$\nbd{}category $A/a_0$ as the following fibred product:
\[
......
......@@ -19,12 +19,10 @@
\SetWatermarkScale{2}
%%%
\fi
\usepackage{geometry}
\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyfoot[C]{\thepage}
%%% For line numbering (used for proodreading purposes)
%% \usepackage[pagewise,displaymath, mathlines]{lineno}
......@@ -33,7 +31,7 @@
\frenchspacing
\begin{document}
\newgeometry{margin=1in}
\begin{titlepage}
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{logo_UP.jpg}
......@@ -56,8 +54,9 @@
{\large Dirigée par François Métayer \\
et par Clemens Berger \par}
\vspace*{1.25cm}
\vspace*{2cm}
\hrulefill
\vspace*{0.25cm}
\centering
{\Huge \scshape \textbf{Homology of strict $\omega$-categories}\par}
......@@ -65,10 +64,10 @@
% \vspace{0.5cm}
% \LARGE
% Thesis Subtitle
\vspace*{0.25cm}
\hrulefill
\vspace{0.75cm}
\vspace{1cm}
{\Large
......@@ -78,15 +77,14 @@
\vfill
{\slshape Présentée et soutenue publiquement le 28 janvier 2021 \\
\vspace*{2cm}
{\slshape Présentée et soutenue publiquement en ligne le 28 janvier 2021 \\
devant un jury composé de : \par}
\vspace{0.8cm}
\begin{tabular}{ll}
\textbf{M. Benoît Fresse} (Prof., Université de Lille) & Rapporteur \\
\textbf{M. Richard Garner} (Senior Lecturer, Macquarie University) & Rapporteur \\
\textbf{Mme Eugenia Cheng} (Prof., School of the Art Institute) & Examinatrice \\
\textbf{M. Carlos Simpson} (DR CNRS, Université de Nice) & Examinateur \\
\textbf{M. Samuel Mimram} (Prof., École Polytechnique) & Examinateur \\
......@@ -94,10 +92,15 @@
\textbf{M. François Métayer} (MCF, Université de Paris Nanterre) & Directeur de Thèse \\
\textbf{M. Clemens Berger} (MCF, Université de Nice) & Co--directeur de Thèse \\
\textbf{M. Dimitri Ara} (MCF, Université Aix-Marseille) & Membre invité
\end{tabular}
\vspace{3cm}
\end{tabular}
\vspace{0.8cm}
{\slshape Rapporteur non présent à la soutenance : \par}
\vspace{0.8cm}
\begin{tabular}{ll}
\textbf{M. Richard Garner} (Senior Lecturer, Macquarie University) & \\
\end{tabular}
% \vspace{3cm}
% \includegraphics[width=0.6\textwidth]{license.png}
......@@ -118,7 +121,7 @@ est de trouver des critères abstraits et concrets permettant de détecter les
$\oo$\nbd{}catégories homologiquement cohérentes. Par exemple, on démontre que
toutes les (petites) catégories, que l'on considère comme des
$\oo$\nbd{}catégories strictes dont toutes les cellules au-delà de la dimension
$1$ sont des unités, sont homologiquement cohérente. On introduit également la
$1$ sont des unités, sont homologiquement cohérentes. On introduit également la
notion de $2$\nbd{}catégorie \emph{sans bulles} et on conjecture qu'une
$2$\nbd{}catégorie cofibrante est homologiquement cohérente si et seulement si
elle est sans bulles. On démontre également des résultats importants concernant
......@@ -126,7 +129,7 @@ les $\oo$\nbd{}catégories strictes qui sont libres sur un polygraphe, comme
le fait que si $F : C \to D$ est un $\oo$\nbd{}foncteur discret de Conduché et
si $D$ est libre sur un polygraphe alors $C$ l'est aussi. Dans son ensemble,
cette thèse établit un cadre général dans lequel étudier l'homologie des
$\oo$\nbd{}catégories en faisant appels à des outils d'algèbre homotopique
$\oo$\nbd{}catégories en faisant appel à des outils d'algèbre homotopique
abstraite, tels que la théorie des catégorie de modèles de Quillen ou la théorie
des dérivateurs de Grothendieck.
......@@ -164,13 +167,19 @@ théorie de l'homotopie, polygraphes.
\noindent\textbf{Keywords : } Higher categories, $\oo$\nbd{}categories, homology,
homotopy theory, polygraphs.
\end{abstract}
\end{abstract}
\restoregeometry
\pagestyle{empty}
\clearpage\mbox{}\clearpage %% For a blank page
\pagenumbering{roman}
\pagestyle{plain}
\include{remerciements}
\tableofcontents
\newpage
\pagenumbering{arabic}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyhead[RO]{INTRODUCTION}
......@@ -181,8 +190,8 @@ homotopy theory, polygraphs.
\include{introduction_fr}
\fancyhf{}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyhead[LE]{\rightmark}
\fancyhead[RO]{\leftmark}
\fancyhead[LE]{\leftmark}
\fancyhead[RO]{\rightmark}
\include{omegacat}
\include{homtheo}
\include{hmtpy}
......
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