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\chapter{Homotopy and homology type of free 2-categories} \chapter{Homotopy and homology type of free 2-categories}
\chaptermark{Homology of free $2$-categories}
\section{Preliminaries: the case of free 1-categories}\label{section:prelimfreecat} \section{Preliminaries: the case of free 1-categories}\label{section:prelimfreecat}
In this section, we review some homotopical results on free In this section, we review some homotopical results on free
($1$-)categories that will be of great help in the sequel. ($1$-)categories that will be of great help in the sequel.
......
\chapter{Homology of contractible \texorpdfstring{$\oo$}{ω}-categories and its consequences} \chapter{Homology of contractible \texorpdfstring{$\oo$}{ω}-categories and its
consequences}
\chaptermark{Contractible $\omega$-categories and consequences}
\section{Contractible \texorpdfstring{$\oo$}{ω}-categories} \section{Contractible \texorpdfstring{$\oo$}{ω}-categories}
Recall that for every $\oo$\nbd{}category $C$, we write $p_C : C \to \sD_0$ for the canonical morphism to the terminal object of $\sD_0$. Recall that for every $\oo$\nbd{}category $C$, we write $p_C : C \to \sD_0$ for the canonical morphism to the terminal object of $\sD_0$.
\begin{definition}\label{def:contractible} \begin{definition}\label{def:contractible}
......
...@@ -526,8 +526,10 @@ From now on, we will consider that the category $\Psh{\Delta}$ is equipped with ...@@ -526,8 +526,10 @@ From now on, we will consider that the category $\Psh{\Delta}$ is equipped with
\begin{remark} \begin{remark}
All the results we have seen in this section are still true if we replace ``oplax'' by ``lax'' everywhere. All the results we have seen in this section are still true if we replace ``oplax'' by ``lax'' everywhere.
\end{remark} \end{remark}
\section{Equivalences of \texorpdfstring{$\oo$}{ω}-categories and the folk model \section[Equivalences of \texorpdfstring{$\oo$}{ω}-categories and the folk model
structure} structure]{Equivalences of \texorpdfstring{$\oo$}{ω}-categories and the folk model
structure%
\sectionmark{The folk model structure}}
\sectionmark{The folk model structure} \sectionmark{The folk model structure}
\begin{paragr}\label{paragr:ooequivalence} \begin{paragr}\label{paragr:ooequivalence}
Let $C$ be an $\omega$-category. We define the equivalence relation $\sim_{\omega}$ on the set $C_n$ by co-induction on $n \in \mathbb{N}$. For $x, y \in C_n$, we have $x \sim_{\omega} y $ when: Let $C$ be an $\omega$-category. We define the equivalence relation $\sim_{\omega}$ on the set $C_n$ by co-induction on $n \in \mathbb{N}$. For $x, y \in C_n$, we have $x \sim_{\omega} y $ when:
...@@ -639,7 +641,11 @@ For later reference, we put here the following trivial but important lemma, whos ...@@ -639,7 +641,11 @@ For later reference, we put here the following trivial but important lemma, whos
See \cite[Proposition 5.1.2.7]{lucas2017cubical} or \cite{ara2019folk}. See \cite[Proposition 5.1.2.7]{lucas2017cubical} or \cite{ara2019folk}.
\end{proof} \end{proof}
\fi \fi
\section{Equivalences of \texorpdfstring{$\oo$}{ω}-categories vs Thomason equivalences} \section[Equivalences of \texorpdfstring{$\oo$}{ω}-categories vs Thomason
equivalences ]{Equivalences of \texorpdfstring{$\oo$}{ω}-categories vs Thomason
equivalences%
\sectionmark{Folk vs Thomason}}
\sectionmark{Folk vs Thomason}
\begin{lemma}\label{lemma:nervehomotopical} \begin{lemma}\label{lemma:nervehomotopical}
The nerve functor $N_{\omega} : \omega\Cat \to \Psh{\Delta}$ sends the equivalences of $\oo$\nbd{}categories to weak equivalences of simplicial sets. The nerve functor $N_{\omega} : \omega\Cat \to \Psh{\Delta}$ sends the equivalences of $\oo$\nbd{}categories to weak equivalences of simplicial sets.
\end{lemma} \end{lemma}
...@@ -686,7 +692,7 @@ The nerve functor $N_{\omega} : \omega\Cat \to \Psh{\Delta}$ sends the equivalen ...@@ -686,7 +692,7 @@ The nerve functor $N_{\omega} : \omega\Cat \to \Psh{\Delta}$ sends the equivalen
%% is the identity on objects. %% is the identity on objects.
This functor cannot be an equivalence since this would imply that every Thomason equivalence is an equivalence of $\oo$\nbd{}categories. This functor cannot be an equivalence since this would imply that every Thomason equivalence is an equivalence of $\oo$\nbd{}categories.
\end{paragr} \end{paragr}
\section{Slice \texorpdfstring{$\oo$}{ω}-categories and a folk Theorem A} \section{{Slice \texorpdfstring{$\oo$}{ω}-categories and folk Theorem~A}}
\begin{paragr}\label{paragr:slices} \begin{paragr}\label{paragr:slices}
Let $A$ be an $\oo$\nbd{}category and $a_0$ an object of $A$. We define the slice $\oo$\nbd{}category $A/a_0$ as the following fibred product: Let $A$ be an $\oo$\nbd{}category and $a_0$ an object of $A$. We define the slice $\oo$\nbd{}category $A/a_0$ as the following fibred product:
\[ \[
......
...@@ -19,12 +19,10 @@ ...@@ -19,12 +19,10 @@
\SetWatermarkScale{2} \SetWatermarkScale{2}
%%% %%%
\fi \fi
\usepackage{geometry}
\usepackage{fancyhdr} \usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyfoot[C]{\thepage}
%%% For line numbering (used for proodreading purposes) %%% For line numbering (used for proodreading purposes)
%% \usepackage[pagewise,displaymath, mathlines]{lineno} %% \usepackage[pagewise,displaymath, mathlines]{lineno}
...@@ -33,7 +31,7 @@ ...@@ -33,7 +31,7 @@
\frenchspacing \frenchspacing
\begin{document} \begin{document}
\newgeometry{margin=1in}
\begin{titlepage} \begin{titlepage}
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{logo_UP.jpg} \includegraphics[width=0.4\textwidth]{logo_UP.jpg}
...@@ -56,8 +54,9 @@ ...@@ -56,8 +54,9 @@
{\large Dirigée par François Métayer \\ {\large Dirigée par François Métayer \\
et par Clemens Berger \par} et par Clemens Berger \par}
\vspace*{1.25cm} \vspace*{2cm}
\hrulefill \hrulefill
\vspace*{0.25cm}
\centering \centering
{\Huge \scshape \textbf{Homology of strict $\omega$-categories}\par} {\Huge \scshape \textbf{Homology of strict $\omega$-categories}\par}
...@@ -65,10 +64,10 @@ ...@@ -65,10 +64,10 @@
% \vspace{0.5cm} % \vspace{0.5cm}
% \LARGE % \LARGE
% Thesis Subtitle % Thesis Subtitle
\vspace*{0.25cm}
\hrulefill \hrulefill
\vspace{0.75cm} \vspace{1cm}
{\Large {\Large
...@@ -78,15 +77,14 @@ ...@@ -78,15 +77,14 @@
\vfill \vspace*{2cm}
{\slshape Présentée et soutenue publiquement le 28 janvier 2021 \\ {\slshape Présentée et soutenue publiquement en ligne le 28 janvier 2021 \\
devant un jury composé de : \par} devant un jury composé de : \par}
\vspace{0.8cm} \vspace{0.8cm}
\begin{tabular}{ll} \begin{tabular}{ll}
\textbf{M. Benoît Fresse} (Prof., Université de Lille) & Rapporteur \\ \textbf{M. Benoît Fresse} (Prof., Université de Lille) & Rapporteur \\
\textbf{M. Richard Garner} (Senior Lecturer, Macquarie University) & Rapporteur \\
\textbf{Mme Eugenia Cheng} (Prof., School of the Art Institute) & Examinatrice \\ \textbf{Mme Eugenia Cheng} (Prof., School of the Art Institute) & Examinatrice \\
\textbf{M. Carlos Simpson} (DR CNRS, Université de Nice) & Examinateur \\ \textbf{M. Carlos Simpson} (DR CNRS, Université de Nice) & Examinateur \\
\textbf{M. Samuel Mimram} (Prof., École Polytechnique) & Examinateur \\ \textbf{M. Samuel Mimram} (Prof., École Polytechnique) & Examinateur \\
...@@ -94,10 +92,15 @@ ...@@ -94,10 +92,15 @@
\textbf{M. François Métayer} (MCF, Université de Paris Nanterre) & Directeur de Thèse \\ \textbf{M. François Métayer} (MCF, Université de Paris Nanterre) & Directeur de Thèse \\
\textbf{M. Clemens Berger} (MCF, Université de Nice) & Co--directeur de Thèse \\ \textbf{M. Clemens Berger} (MCF, Université de Nice) & Co--directeur de Thèse \\
\textbf{M. Dimitri Ara} (MCF, Université Aix-Marseille) & Membre invité \textbf{M. Dimitri Ara} (MCF, Université Aix-Marseille) & Membre invité
\end{tabular} \end{tabular}
\vspace{0.8cm}
\vspace{3cm} {\slshape Rapporteur non présent à la soutenance : \par}
\vspace{0.8cm}
\begin{tabular}{ll}
\textbf{M. Richard Garner} (Senior Lecturer, Macquarie University) & \\
\end{tabular}
% \vspace{3cm}
% \includegraphics[width=0.6\textwidth]{license.png} % \includegraphics[width=0.6\textwidth]{license.png}
...@@ -118,7 +121,7 @@ est de trouver des critères abstraits et concrets permettant de détecter les ...@@ -118,7 +121,7 @@ est de trouver des critères abstraits et concrets permettant de détecter les
$\oo$\nbd{}catégories homologiquement cohérentes. Par exemple, on démontre que $\oo$\nbd{}catégories homologiquement cohérentes. Par exemple, on démontre que
toutes les (petites) catégories, que l'on considère comme des toutes les (petites) catégories, que l'on considère comme des
$\oo$\nbd{}catégories strictes dont toutes les cellules au-delà de la dimension $\oo$\nbd{}catégories strictes dont toutes les cellules au-delà de la dimension
$1$ sont des unités, sont homologiquement cohérente. On introduit également la $1$ sont des unités, sont homologiquement cohérentes. On introduit également la
notion de $2$\nbd{}catégorie \emph{sans bulles} et on conjecture qu'une notion de $2$\nbd{}catégorie \emph{sans bulles} et on conjecture qu'une
$2$\nbd{}catégorie cofibrante est homologiquement cohérente si et seulement si $2$\nbd{}catégorie cofibrante est homologiquement cohérente si et seulement si
elle est sans bulles. On démontre également des résultats importants concernant elle est sans bulles. On démontre également des résultats importants concernant
...@@ -126,7 +129,7 @@ les $\oo$\nbd{}catégories strictes qui sont libres sur un polygraphe, comme ...@@ -126,7 +129,7 @@ les $\oo$\nbd{}catégories strictes qui sont libres sur un polygraphe, comme
le fait que si $F : C \to D$ est un $\oo$\nbd{}foncteur discret de Conduché et le fait que si $F : C \to D$ est un $\oo$\nbd{}foncteur discret de Conduché et
si $D$ est libre sur un polygraphe alors $C$ l'est aussi. Dans son ensemble, si $D$ est libre sur un polygraphe alors $C$ l'est aussi. Dans son ensemble,
cette thèse établit un cadre général dans lequel étudier l'homologie des cette thèse établit un cadre général dans lequel étudier l'homologie des
$\oo$\nbd{}catégories en faisant appels à des outils d'algèbre homotopique $\oo$\nbd{}catégories en faisant appel à des outils d'algèbre homotopique
abstraite, tels que la théorie des catégorie de modèles de Quillen ou la théorie abstraite, tels que la théorie des catégorie de modèles de Quillen ou la théorie
des dérivateurs de Grothendieck. des dérivateurs de Grothendieck.
...@@ -164,13 +167,19 @@ théorie de l'homotopie, polygraphes. ...@@ -164,13 +167,19 @@ théorie de l'homotopie, polygraphes.
\noindent\textbf{Keywords : } Higher categories, $\oo$\nbd{}categories, homology, \noindent\textbf{Keywords : } Higher categories, $\oo$\nbd{}categories, homology,
homotopy theory, polygraphs. homotopy theory, polygraphs.
\end{abstract} \end{abstract}
\restoregeometry
\pagestyle{empty}
\clearpage\mbox{}\clearpage %% For a blank page
\pagenumbering{roman} \pagenumbering{roman}
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\include{remerciements} \include{remerciements}
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\newpage \newpage
\pagenumbering{arabic} \pagenumbering{arabic}
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\fancyhf{} \fancyhf{}
\fancyfoot[C]{\thepage} \fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyhead[RO]{INTRODUCTION} \fancyhead[RO]{INTRODUCTION}
...@@ -181,8 +190,8 @@ homotopy theory, polygraphs. ...@@ -181,8 +190,8 @@ homotopy theory, polygraphs.
\include{introduction_fr} \include{introduction_fr}
\fancyhf{} \fancyhf{}
\fancyfoot[C]{\thepage} \fancyfoot[C]{\thepage}
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\fancyhead[RO]{\leftmark} \fancyhead[RO]{\rightmark}
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\include{hmtpy} \include{hmtpy}
......
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