Commit ac1d39a4 authored by Leonard Guetta's avatar Leonard Guetta
Browse files

Changed the layout, added a new chapter which is the french introduction (to be completed)

parent 95c0b2ef
\chapter*{Introduction (français)}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Introduction (français)} %% For this chapter to
%% appear in toc
Le cadre général de cette thèse est celui de la \emph{théorie de l'homotopie des
$\oo$\nbd{}catégories strictes}, et, comme le titre le suggère, ce sont les
aspects homologiques de cette théorie qui sont traîtés. Le but est d'étudier et de
comparer deux invariants homologiques différents associés aux
$\oo$\nbd{}catégories strictes; c'est-à-dire, deux foncteurs différents
\[\mathbf{Str}\oo\Cat \to \ho(\Ch)\]
de la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories strictes vers la catégorie homotopique
des complexes de chaînes en degré positif (i.e.\ la localisation de la catégorie
des complexes de chaînes en degré positif relativement aux
quasi\nbd{}isomorphismes).
Avant d'entrer dans le vif du sujet, précisons sans plus tarder qu'à
l'unique exception de la toute fin de cette introduction, toutes les
$\oo$\nbd{}catégories que nous considérons sont des $\oo$\nbd{}catégories
\emph{strictes}. C'est pourquoi nous laissons tomber l'adjectif \guillemotleft
strict\guillemotright{} et parlons simplement d'\emph{$\oo$\nbd{}catégorie} plutôt
que d'\emph{$\oo$\nbd{}catégorie stricte}. De même, nous notons $\oo\Cat$ plutôt que
$\mathbf{Str}\oo\Cat$ pour la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
\begin{named}[Le contexte : les $\oo$-categories en tant qu'espaces] La théorie
de l'homotopie des $\oo$\nbd{}catégories commence avec le foncteur nerf
introduit par Street in \cite{street1987algebra}
\[
N_{\omega} : \oo\Cat \to \Psh{\Delta}
\]
qui associe à toute $\oo$\nbd{}catégorie $C$ un ensemble simplicial
$N_{\oo}(C)$ appelé le \emph{nerf de $C$}, généralisant le nerf usuel des
(petites) catégories. En utilisant ce foncteur, il est possible de transférer
la théorie de l'homotopie des ensembles simpliciaux aux $\oo$\nbd{}catégories,
comme cela est fait par exemple dans les articles
\cite{ara2014vers,ara2018theoreme,gagna2018strict,ara2019quillen,ara2020theoreme,ara2020comparaison}.
Suivant la terminologie de ces derniers, un morphisme $f : C \to D$ of
$\oo\Cat$ est une \emph{équivalence de Thomason} si $N_{\oo}(f)$ est une
équivalence faible (de Quillen) d'ensembles simpliciaux. Par définition, le
foncteur nerf induit un foncteur au niveau des catégories homotopiques
\[
\overline{N_{\omega}} : \ho(\oo\Cat^{\Th}) \to \ho(\Psh{\Delta}),
\]
$\ho(\oo\Cat^{\Th})$ est la localisation de $\oo\Cat$ relativement aux
équivalences de Thomason et $\ho(\Psh{\Delta})$ est la localisation de
$\Psh{\Delta}$ relativement aux équivalences faibles (de Quillen) d'ensembles
simpliciaux. Comme prouvé par Gagna \cite{gagna2018strict}, ce dernier foncteur est en
fait une équivalence de catégories. Autrement dit, la théorie de l'homotopie
des $\oo$\nbd{}catégories induites par les équivalences de Thomason est la
même que la théorie de l'homotopie des espaces. Le résultat de Gagna est une
généralisation du résultat analogue pour le nerf usuel des petites catégories,
attribué à Quillen dans \cite{illusie1972complexe}.
\end{named}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "main"
%%% End:
No preview for this file type
\documentclass[12pt,a4paper]{report}
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage[unicode,psdextra,final]{hyperref}
\hypersetup{
colorlinks=true,
linkcolor=Purple,
citecolor=cyan,
}
%\usepackage{classicthesis}
\usepackage{mystyle}
\usepackage{times}
\usepackage{sectsty}
\allsectionsfont{\scshape}
\iffalse
%%% Watermark
\usepackage{draftwatermark}
......@@ -17,44 +25,73 @@
%% \usepackage[pagewise,displaymath, mathlines]{lineno}
%% \linenumbers
\title{Homology of strict $\omega$-categories}
\author{Léonard Guetta}
%\subtitle{test}
\begin{document}
\begin{titlepage}
\begin{center}
\vspace*{1cm}
\Huge
\textbf{Homology of strict $\omega$-categories}
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{logo_UP.jpg}
\vspace*{1cm}
\raggedleft
{
\scshape{\textbf{Université de Paris}} \par}
\vspace{0.25cm}
{\large École de Sciences Mathématiques Paris Centre (ED 386)}
{Institut de Recherche Fondamentale en Informatique (IRIF)}
%{\large Institut de Recherche Fondamentale en Informatique (IRIF)}
\vspace*{0.25cm}
{\Large
\scshape
\textbf{Thèse de doctorat en Mathématiques}}
{\large Dirigée par François Métayer \\
et par Clemens Berger \par}
\vspace*{1.25cm}
\centering
{\Huge \scshape \textbf{Homology of strict $\omega$-categories}\par}
% \vspace{0.5cm}
% \LARGE
% Thesis Subtitle
\vspace{1.5cm}
\vspace{0.75cm}
\large
\textbf{Léonard Guetta}
\vfill
PhD thesis in mathematics under the supervision of\\
François Métayer and Clemens Berger
\vspace{0.8cm}
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{logo_UP.jpg}
\Large
IRIF\\
Université de Paris\\
France\\
\today
{\Large
\textbf{par Léonard Guetta}}
\vfill
{\slshape Présentée et soutenue publiquement le 15 janvier 2021 \\
devant un jury composé de : \par}
\vspace{0.8cm}
\begin{tabular}{ll}
\textbf{M. Benoît Fresse} (Prof., Université de Lille) & Rapporteur \\
\textbf{M. Richard Garner} (Senior Lecturer, University Maquarie) & Rapporteur \\
\textbf{Mme Eugenia Cheng} (Prof., School of the Art Institute) & Examinatrice \\
\textbf{M. Carlos Simpson} (DR CNRS, Université de Paris) & Examinateur \\
\textbf{M. Samuel Mimram} (Prof., École Polytechnique) & Examinateur \\
\textbf{M. Georges Maltsiniotis} (DR CNRS, Université de Nice) & Examinateur \\
\textbf{M. François Métayer} (MCF, Université de Paris Nanterre) & Directeur de Thèse \\
\textbf{M. Clemens Berger} (MCF, Université de Nice) & Co--directeur de Thèse \\
\textbf{M. Dimitri Ara} (MCF, Université Aix-Marseille) & Membre invité
\end{tabular}
\end{center}
\vspace{3cm}
\includegraphics[width=0.6\textwidth]{license.png}
\vspace*{-3cm}
\end{titlepage}
\abstract{In this dissertation, we study the homology of strict
......@@ -67,6 +104,7 @@
\tableofcontents
\include{introduction}
\include{introduction_fr}
\include{omegacat}
\include{homtheo}
\include{hmtpy}
......
......@@ -267,7 +267,7 @@ note={Available at \url{http://webusers.imj-prg.fr/~georges.maltsiniotis/groth/D
title={Pursuing {S}tacks},
author={Grothendieck, Alexandre},
year={1983},
note={To appear in {D}ocuments {M}ath{'e}matiques, {S}oci{'e}t{'e} {M}ath{'e}matiques de {F}rance}
note={To appear in {D}ocuments {M}ath{\'e}matiques, {S}oci{\'e}t{\'e} {M}ath{\'e}matiques de {F}rance}
}
@unpublished{grothendieck1991letter,
title={Lettre à {T}homason},
......
......@@ -7,7 +7,7 @@
%\usepackage{showlabels}
\usepackage{chngpage} %allows for temporary adjustment of margin
\usepackage{changepage} %allows for temporary adjustment of margin
% url, references
......
Markdown is supported
0% or .
You are about to add 0 people to the discussion. Proceed with caution.
Finish editing this message first!
Please register or to comment