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......@@ -469,8 +469,8 @@ for the category of (strict) $\oo$\nbd{}categories.
free $2$\nbd{}categories are \good{}. In order to do so, we give a criterion
to detect homotopy cocartesian square with respect to Thomason equivalences
(Proposition \ref{prop:critverthorThomhmtpysquare}) based on the homotopy
theory of bisimplicial sets. Then, we apply this criterion and some other ad
hoc techniques to compute many examples of homotopy type of free
theory of bisimplicial sets. Then, we apply this criterion and some other \emph{ad
hoc} techniques to compute many examples of homotopy type of free
$2$\nbd{}categories. The conclusion of the chapter is Conjecture
\ref{conjecture:bubblefree}, which states that a free $2$\nbd{}category is
\good{} if and only if it is bubble-free.
......
......@@ -459,9 +459,36 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ pour la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
Dans le quatrième chapitre, nous définierons les homologies polygraphique et
singulière des $\oo$\nbd{}catégories et fomulerons précisément le problème
de leur comparaison. Jusqu'à la Section \ref{section:polygraphichmlgy}
incluse, tous les résultats étaient connues avant cette thèse (au moins dans
incluse, tous les résultats étaient connus avant cette thèse (au moins dans
le folklore), mais à partir de la Section \ref{section:singhmlgyderived}
tous les résultats sont orignaux.
tous les résultats sont orignaux. Trois résultats fondamenteux de ce
chapitre sont les suivants : Théorème \ref{thm:hmlgyderived}, qui dit que
l'homologie singulière s'obtient comme le foncteur dérivé d'un foncteur
d'abélianisation, Proposition \ref{prop:criteriongoodcat}, qui donne un
crité abstrait pour détecter les $\oo$\nbd{}catégories homologiquement
cohérentes, et Proposition \ref{prop:comphmlgylowdimension}, qui dit que les
groupes d'homologie polygraphique et singulière coincident toujours en basse
dimension.
Le cinquième chapitre a pour but de démontré le Théorème fondamental
\ref{thm:categoriesaregood}, qui dit que toute catégorie est homologiquement
cohérente. Pour démontrer celui-ci, nous nous intéresserons en premier lieu
à une classe particulière d'$\oo$\nbd{}catégories, dites
\emph{contractiles}, et nous montrerons que toute $\oo$\nbd{}catégorie
contractile est homologiquement cohérente (Proposition
\ref{prop:contractibleisgood}).
Enfin, le sixième et dernier chapitre de la thèse s'intéresse à l'homologie
des $2$\nbd{}catégories libres. Le but est d'essayer de comprendre quelles
sont les $2$\nbd{}catégories libres qui sont homologiquement cohérentes.
Pour cela, un critère pour détecter les carrés homotopiquement cocartésiens
relativement aux équivalences de Thomason y est donné (Proposition
\ref{prop:critverthorThomhmtpysquare}). Ce critère est fondé sur la théorie
de l'homotopie des ensembles bisimpliciaux. Ensuite, nous appliquerons ce
critère ainsi que d'autres techniques \emph{ad hoc} au calcul du type d'homotopie d'un grand
nombre de $2$\nbd{}catégories libres. La conclusion du chapitre est la
Conjecture \ref{conjecture:bubblefree}, qui énonce qu'une $2$\nbd{}catégorie
libre est homologiquement cohérente si et seulement si elle est sans bulles.
\end{named}
\selectlanguage{english}
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\includegraphics[width=0.6\textwidth]{license.png}
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