Commit d8b4cc5a authored by Leonard Guetta's avatar Leonard Guetta
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parent 2165a82e
......@@ -219,11 +219,13 @@ for the category of (strict) $\oo$\nbd{}categories.
\end{center}
Note that, in theory, question \textbf{(Q')} is more precise than question
\textbf{(Q)} since we impose which morphism has to be an isomorphism in the
comparison of homology groups. However, in practice, when we show that the
polygraphic and singular homology groups of an $\oo$\nbd{}category are
isomorphic, it is always via the above canonical comparison map. Conversely,
when we show that an $\oo$\nbd{}category is not \good{}, it always rules out
any isomorphism possible (not only the canonical comparison map).
comparison of homology groups. However, for all the concrete examples that we shall
meet in practice, it is always question \textbf{(Q')} that will be answered.
% in practice, when we show that the
% polygraphic and singular homology groups of an $\oo$\nbd{}category are
% isomorphic, it is always via the above canonical comparison map. Conversely,
% when we show that an $\oo$\nbd{}category is not \good{}, it always rules out
% any isomorphism possible (not only the canonical comparison map).
As will be explained in this thesis, a formal consequence of the above is that
polygraphic homology is \emph{not} invariant under Thomason equivalence. This
......
......@@ -19,7 +19,7 @@ $\oo$\nbd{}catégories que nous considérerons sont des $\oo$\nbd{}catégories
\emph{strictes}. C'est pourquoi nous omettrons l'adjectif \og
strict\fg{} et parlerons simplement de \emph{$\oo$\nbd{}catégorie} plutôt
que de \emph{$\oo$\nbd{}catégorie stricte}. De même, nous noterons $\oo\Cat$ plutôt que
$\mathbf{Str}\oo\Cat$ pour la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
$\mathbf{Str}\oo\Cat$ la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
\begin{named}[Le contexte : les $\oo$-categories en tant qu'espaces] L'étude de la théorie
de l'homotopie des $\oo$\nbd{}catégories commence avec le foncteur nerf
......@@ -228,13 +228,8 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ pour la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
\textbf{(Q')} Quelles $\oo$\nbd{}catégories sont homologiquement cohérentes ?
\end{center}
Notons au passage que la question \textbf{(Q')} est théoriquement plus précise
que la question \textbf{(Q)} car l'isomorphisme entre les groupes d'homologie
polygraphique et singulière est imposé. Pratiquement cela
ne change rien car lorsque nous prouverons que l'homologie polygraphique
coïncide avec l'homologie singulière ce sera toujours via le morphisme de
comparaison canonique. Et réciproquement, lorsque nous montrerons qu'une
$\oo$\nbd{}catégorie n'est pas homologiquement cohérente, nous écarterons tout
isomorphisme possible.
que la question \textbf{(Q)}. Cependant, dans tous les exemples concrets
que nous rencontrerons, c'est toujours à la question \textbf{(Q')} que nous répondrons.
Comme il sera expliqué dans la thèse, de cette
reformulation en terme de foncteurs dérivés il est également possible de déduire formellement que l'homologie polygraphique n'est \emph{pas} invariante
......@@ -425,7 +420,7 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ pour la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
\begin{named}[Organisation de la thèse]
Dans le premier chapitre, nous passerons en revue quelques aspects de la
théorie des $\oo$\nbd{}catégories. En particulier, nous étudierons avec
grand soin les $\oo$\nbd{}catégories libres, qui son au coeur de cette
grand soin les $\oo$\nbd{}catégories libres, qui sont au c\oe{}ur de cette
thèse. C'est le seul chapitre de la thèse qui ne contient aucune référence à
la théorie de l'homotopie. C'est également dans ce chapitre que nous introduirons la notion
d'$\oo$\nbd{}foncteur de Conduché discret et que nous étudierons leur
......
......@@ -104,7 +104,7 @@ Dans cette thèse, on compare l'homologie \og classique \fg{} d'une
$\oo$\nbd{}catégorie (définie comme l'homologie de son nerf de Street) avec
son homologie polygraphique. Plus précisément, on prouve que les deux
homologies ne coïncident pas en général et qualifions d'\emph{homologiquement
cohérente} les $\oo$\nbd{}catégories particulières pour lesquelles l'homologie
cohérentes} les $\oo$\nbd{}catégories particulières pour lesquelles l'homologie
polygraphique coïncide effectivement avec l'homologie du nerf. Le but poursuivi
est de trouver des critères abstraits et concrets permettant de détecter les
$\oo$\nbd{}catégories homologiquement cohérentes. Par exemple, on démontre que
......
\documentclass[9pt,a5paper,twoside]{report}
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\begin{document}
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\begin{titlepage}
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\vspace*{1cm}
\raggedleft
{
\scshape{\textbf{Université de Paris}} \par}
\vspace{0.25cm}
{\large École de Sciences Mathématiques Paris Centre (ED 386)}
{Institut de Recherche Fondamentale en Informatique (IRIF)}
%{\large Institut de Recherche Fondamentale en Informatique (IRIF)}
\vspace*{0.25cm}
{\Large
\scshape
\textbf{Thèse de doctorat en Mathématiques}}
{\large Dirigée par François Métayer \\
et par Clemens Berger \par}
\vspace*{1.25cm}
\hrulefill
\centering
{\Huge \scshape \textbf{Homology of strict $\omega$-categories}\par}
% \vspace{0.5cm}
% \LARGE
% Thesis Subtitle
\hrulefill
\vspace{0.75cm}
{\Large
\textbf{par Léonard Guetta}}
\vspace{1cm}
%\vfill
{\slshape Présentée et soutenue publiquement le 28 janvier 2021 \\
devant un jury composé de : \par}
\vspace{0.8cm}
\raggedright{
\begin{tabular}{ll}
\textbf{M. Benoît Fresse} (Prof., Université de Lille) & Rapporteur \\
\textbf{M. Richard Garner} (Senior Lecturer, Macquarie University) & Rapporteur \\
\textbf{Mme Eugenia Cheng} (Prof., School of the Art Institute) & Examinatrice \\
\textbf{M. Carlos Simpson} (DR CNRS, Université de Nice) & Examinateur \\
\textbf{M. Samuel Mimram} (Prof., École Polytechnique) & Examinateur \\
\textbf{M. Georges Maltsiniotis} (DR CNRS, Université de Paris) & Examinateur \\
\textbf{M. François Métayer} (MCF, Université de Paris Nanterre) & Directeur de Thèse \\
\textbf{M. Clemens Berger} (MCF, Université de Nice) & Co--directeur de Thèse \\
\textbf{M. Dimitri Ara} (MCF, Université Aix-Marseille) & Membre invité
\end{tabular}
\par }
% \vspace{3cm}
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% \vspace*{-3cm}
\end{titlepage}
\restoregeometry
\selectlanguage{french}
\begin{abstract}
Dans cette thèse, on compare l'homologie \og classique \fg{} d'une
$\oo$\nbd{}catégorie (définie comme l'homologie de son nerf de Street) avec
son homologie polygraphique. Plus précisément, on prouve que les deux
homologies ne coïncident pas en général et qualifions d'\emph{homologiquement
cohérentes} les $\oo$\nbd{}catégories particulières pour lesquelles l'homologie
polygraphique coïncide effectivement avec l'homologie du nerf. Le but poursuivi
est de trouver des critères abstraits et concrets permettant de détecter les
$\oo$\nbd{}catégories homologiquement cohérentes. Par exemple, on démontre que
toutes les (petites) catégories, que l'on considère comme des
$\oo$\nbd{}catégories strictes dont toutes les cellules au-delà de la dimension
$1$ sont des unités, sont homologiquement cohérente. On introduit également la
notion de $2$\nbd{}catégorie \emph{sans bulles} et on conjecture qu'une
$2$\nbd{}catégorie cofibrante est homologiquement cohérente si et seulement si
elle est sans bulles. On démontre également des résultats importants concernant
les $\oo$\nbd{}catégories strictes qui sont libres sur un polygraphe, comme
le fait que si $F : C \to D$ est un $\oo$\nbd{}foncteur discret de Conduché et
si $D$ est libre sur un polygraphe alors $C$ l'est aussi. Dans son ensemble,
cette thèse établit un cadre général dans lequel étudier l'homologie des
$\oo$\nbd{}catégories en faisant appels à des outils d'algèbre homotopique
abstraite, tels que la théorie des catégorie de modèles de Quillen ou la théorie
des dérivateurs de Grothendieck.
\bigskip
\noindent\textbf{Mots-clés : } Catégories supérieures, $\oo$\nbd{}catégories, homologie,
théorie de l'homotopie, polygraphes.
\end{abstract}
\selectlanguage{english}
\begin{abstract}
In this dissertation, we compare the ``classical''
homology of an $\oo$\nbd{}category (defined as the homology of its Street
nerve) with its polygraphic homology. More precisely, we prove that both
homologies generally do not coincide and call \emph{homologically coherent} the
particular strict $\oo$\nbd{}categories for which polygraphic homology and
homology of the nerve do coincide. The goal pursued is to find abstract
and concrete criteria to detect homologically coherent $\oo$\nbd{}categories. For
example, we prove that all (small) categories, considered as strict
$\oo$\nbd{}categories with unit cells above dimension $1$, are homologically
coherent. We also introduce the notion of \emph{bubble-free} $2$\nbd{}category
and conjecture that a cofibrant $2$\nbd{}category is homologically
coherent if and only if it is bubble-free.
We also prove important results concerning free strict
$\oo$\nbd{}categories on polygraphs (also known as computads), such as the
fact that if $F : C \to D$ is a discrete Conduché $\oo$\nbd{}functor and $D$
is a free strict $\oo$\nbd{}category on a polygraph, then so is $C$.
Overall, this thesis achieves to build a general framework in which to study the
homology of strict $\oo$\nbd{}categories using tools of abstract homotopical
algebra such as Quillen's theory of model categories or Grothendieck's theory
of derivators.
\bigskip
\noindent\textbf{Keywords : } Higher categories, $\oo$\nbd{}categories, homology,
homotopy theory, polygraphs.
\end{abstract}
\tableofcontents
\include{remerciements}
\include{introduction}
\include{introduction_fr}
\include{omegacat}
\include{homtheo}
\include{hmtpy}
\include{hmlgy}
\include{contractible}
\include{2cat}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Bibliography}
\bibliographystyle{alpha}
\bibliography{memoire}
\end{document}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End:
......@@ -6,9 +6,10 @@ Avec toute thèse, viennent les habituels remerciements. L'écriture de ces dern
semble presque aussi délicate que l'écriture de la thèse elle-même car, il faut
bien le dire, la plupart des lecteurs ne s'aventureront pas au-delà (et je
les comprends !). Je n'ai d'ailleurs jamais été capable d'expliquer à mes proches
les mathématiques que je fais et j'en suis embarassé, voire un peu frustré.
Puissent-ils me croire sur parole quand je leur dis que c'est une recherche
d'esthétisme qui anime mon coeur de mathématicien.
les mathématiques que je fais et j'en suis désolé. Pour faire simple, les
mathématiques c'est comme la musique, ça n'a rien à voir.
%Puissent-ils me croire sur parole quand je leur dis que c'est une recherche
%d'esthétisme qui anime mon coeur de mathématicien.
%je leur dis que l'esthétique inattendue des
%mathématiques est envoutante. % est ce qui anime le coeur des
% mathématiciens.
......@@ -16,7 +17,7 @@ d'esthétisme qui anime mon coeur de mathématicien.
Merci à François Métayer et Clemens Berger d'avoir dirigé ma thèse avec autant de bienveillance
et de gentillesse. Vous avez su me guider tout en me laissant libre de suivre
mes intuitions,
parfois de manière têtue je dois le reconnaître.
parfois de façon têtue je dois le reconnaître.
De manière peu conventionelle, je voudrais aussi remercier Georges Maltsiniotis
au même titre que mes directeurs de thèse. Véritable mentor pour moi, j'ose
orgueilleusement me penser son élève par adoption. Il m'est impossible de
......@@ -25,21 +26,21 @@ mathématique sur moi et je ne compte plus le nombre de fois où ses explication
limpides des concepts qui me paraissaient mystérieux.
Je voudrais remercier Benoît Fresse et Richard Garner d'avoir accepté de
rapporter ma thèse. Leurs retours positifs et chaleureux ont [...] Richard, I am
rapporter ma thèse. Richard, I am
indebted to you for having read my dissertation so carefully and thoroughly. I
sincerely hope that we will have the occasion to meet and discuss in the future.
Je voudrais également remercier Eugenia Cheng, Carlos
Simpson, Samuel Mimram, Georges Maltsiniotis et Dimitri Ara d'avoir accepté de
faire partie de mon jury. J'aurais beaucoup apprécié pouvoir échanger de vive
voix avec vous lors de la soutenance et je suis très attristé que le climat
actuel ne nous permettent pas de nous réunir physiquement.
actuel ne nous permette pas de nous réunir physiquement.
Merci à tous les doctorants de l'IRIF avec qui j'ai eu la chance de partager un
bout de chemin et le pain au déjeuner : Cyrille, Maxime, Pierre V., Pierre C.,
Loïc, Cédric, Zeinab, Léo, Rémi, Nicolas, Victor, Costia, El-Mehdi, Alen, Loïc,
Farzad, Gianluca, Mehdi... Il y a parmi eux plusieurs à qui je dois une mention
spéciale. Antoine, avec qui j'ai tant apprécié discuter. Chaïtanya qui, en plus d'être un ami cher, a eu la patience de
spéciale. Antoine, avec qui j'ai tant apprécié discuter. Chaitanya qui, en plus d'être un ami cher, a eu la patience de
corriger nombreuses de mes fautes d'anglais dans cette thèse, et
pour ça je lui suis extrêmement redevable. Enfin Jules, qui fût mon
veritable compagnon de route ces dernières années. Merci pour cette \og colla-bureaution\fg{} qui a résulté en une sincère amitié. Je ris
......@@ -49,8 +50,8 @@ Et puis bien sûr, il y a Daniel; de toutes les choses qui le rendent si
formidablement singulier, je crois
que ce que j'admire le plus c'est sa liberté d'esprit.
Merci à mes soeurs Margot, Naomi et Oriane d'êtres présentes dans ma vie. Vous
occupez une place dans mon coeur bien plus grande que vous ne le soupçonnez
Merci à mes s\oe{}urs Margot, Naomi et Oriane d'êtres présentes dans ma vie. Vous
occupez une place dans mon c\oeu{}r bien plus grande que vous ne le soupçonnez
certainement. Merci Maman de m'avoir toujours poussé et encouragé dans
toutes mes entreprises. Il ne fait aucun doute que je n'en serais pas là sans
toi. Merci Papa d'avoir éveillé en moi le goût pour les
......@@ -63,8 +64,8 @@ grande partie de cette thèse a été écrite chez vous en Provence et la
chaleur de votre entourage a été essentielle.
Merci aussi à Georges Brassens et Django Reinhardt, sans qui je passerais
beaucoup plus de temps à travailler.
Merci aussi à Georges Brassens et Django Reinhardt, sans qui j'aurais terminé
cette thèse dans les temps.
Et puis bien évidemment, il y a Emma. Le rayonnement que tu apportes dans ma vie
rend toute tentative de remerciement d'une fadeur ingrate. Indirectement, cette
......
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