Cette précisément à cette question que tente de répondre cette thèse.
Néanmoins, le lecteur trouvera dans ce document plusieurs notions nouvelles et
résultats qui, bien qu'originellement motivés par la question ci-dessus, sont
intrinsèquement intéressantes pour la théorie des $\oo$\nbd{}catégories et
dont les raisons d'être dépassent les considérations homologiques précédentes.
dont la portée dépasse les considérations homologiques précédentes.
\end{named}
\begin{named}[Une autre formulation du problème] Un des accomplissements
du travail présenté ici est l'établissement d'un cadre conceptuel qui permet
...
...
@@ -277,26 +277,28 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ pour la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
\begin{center}
Toute (petite) catégorie est homologiquement cohérente.
\end{center}
Afin de donner du sens à cette assertion, il faut considérer les catégories comme
des $\oo$\nbd{}catégories dont les cellules au delà de la dimension $1$ sont
des unités. Le résultat ci-dessus n'est pas pour autant trivial car pour une
résolution polygraphique $P \to C$ d'une petite catégorie $C$, la
$\oo$\nbd{}catégorie $P$, elle, n'a pas forcément que des cellules
unités au delà de la dimension 1.
Afin de donner du sens à cette assertion, il faut considérer les catégories
comme des $\oo$\nbd{}catégories dont les cellules au delà de la dimension $1$
sont des unités. Le résultat ci-dessus n'est pas pour autant trivial car pour
une résolution polygraphique $P \to C$ d'une petite catégorie $C$, la
$\oo$\nbd{}catégorie $P$, elle, n'a pas forcément que des cellules unités au
delà de la dimension 1.
En tant que tel, ce résultat est seulement une petite généralisation du
résultat de Lafont et Métayer sur les monoïdes (bien qu'il soit plus précis, même retreint aux
monoïdes, car il dit que c'est le \emph{morphisme de comparaison
canonique} qui est un isomorphisme). Mais la véritable nouveauté du résultat en
est sa démonstration qui est plus conceptuelle que celle de Lafont et Métayer. Elle
repose sur l'introduction de nouvelles notions et le développement de
nouveaux résultats; le tout s'assemblant élégamment pour finalement produire le
résultat voulu. Cette thèse a été écrite de telle façon que tous ces élements
nécessaires à la démonstration du résultat précédent sont répartis sur plusieurs chapitres; une version
plus condensée de celle-ci se trouve l'article \cite{guetta2020homology}. Parmi les
nouvelles notions développées, la plus significative est probablement celle d'$\oo$\nbd{}foncteur de Conduché discret. Un $\oo$\nbd{}foncteur $f : C \to D$
est un \emph{$\oo$\nbd{}foncteur de Conduché discret} quand pour toute cellule
$x$ de $C$, si $f(x)$ peut être décomposé en
résultat de Lafont et Métayer sur les monoïdes (bien qu'il soit plus précis,
même retreint aux monoïdes, car il dit que c'est le \emph{morphisme de
comparaison canonique} qui est un isomorphisme). Mais la véritable nouveauté
du résultat en est sa démonstration qui est plus conceptuelle que celle de
Lafont et Métayer. Elle repose sur l'introduction de nouvelles notions et le
développement de nouveaux résultats; le tout s'assemblant élégamment pour
finalement produire le résultat voulu. Cette thèse a été écrite de telle façon
que tous ces élements nécessaires à la démonstration du résultat précédent
sont répartis sur plusieurs chapitres; une version plus condensée de celle-ci
se trouve l'article \cite{guetta2020homology}. Parmi les nouvelles notions
développées, la plus significative est probablement celle
d'$\oo$\nbd{}foncteur de Conduché discret. Un $\oo$\nbd{}foncteur $f : C \to
D$ est un \emph{$\oo$\nbd{}foncteur de Conduché discret} quand pour toute
cellule $x$ de $C$, si $f(x)$ peut être décomposé en
\[
f(x)=y'\comp_k y'',
\]
...
...
@@ -314,13 +316,12 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ pour la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
Une fois le cas de l'homologie des ($1$\nbd{})catégories complètement résolu,
il est naturel de s'intéresser aux $2$\nbd{}catégories. Contrairement au cas
des (1\nbd{})catégories, les 2\nbd{}catégories ne sont pas toutes
homologiquement cohérentes et la situation est beaucoup plus compliquée.
En premier lieu, on peut se restreindre aux
$2$\nbd{}catégories qui sont libres (en tant qu'$\oo$\nbd{}catégories) et c'est
ce qui est fait dans cette thèse. Avec cette hypothèse simplificatrice, le
problème de caractérisation des $2$\nbd{}catégories libres homologiquement
cohérentes peut être réduit à la question suivante :
soit un carré cocartésien de la forme
homologiquement cohérentes et la situation est beaucoup plus compliquée. En
premier lieu, on peut se restreindre aux $2$\nbd{}catégories qui sont libres
(en tant qu'$\oo$\nbd{}catégories) et c'est ce qui est fait dans cette thèse.
Avec cette hypothèse simplificatrice, le problème de caractérisation des
$2$\nbd{}catégories libres homologiquement cohérentes peut être réduit à la
question suivante : soit un carré cocartésien de la forme
\[
\begin{tikzcd}
\sS_1\ar[r]\ar[d]& P \ar[d]\\
...
...
@@ -332,31 +333,32 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ pour la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
partie substantielle du travail présenté ici consiste à développer des outils
permettant de reconnaître les carrés homotopiquement cocartésiens de
$2$\nbd{}catégories relativement aux équivalences Thomason. Bien que les
outils qui seront présentés ne permettent pas de répondre
entièrement à la question ci-dessus, ils permmetent tout de même de détecter
de tels carrés cocartésiens dans beaucoup de situations concrètes. Il y a même
une section entière de la thèse qui consiste uniquement en une liste
d'exemples détaillés de calculs du type d'homotopie de $2$\nbd{}catégories
libres en utilisant ces outils. De ces exemples se dégage très clairement une
classe particulière de $2$\nbd{}catégories, que j'ai nommées les \og
$2$\nbd{}catégories sans bulles \fg{} et qui sont caractérisées
comme suit. Pour une $2$\nbd{}catégorie, appelons \emph{bulle} une
$2$\nbd{}cellule non-triviale dont la source et le but sont des unités sur une
$0$\nbd{}cellule (nécessairement la même). Une \emph{$2$\nbd{}catégorie
sans bulles} est simplement une $2$\nbd{}catégorie qui n'a aucune bulle.
L'archétype de la $2$\nbd{}catégorie qui n'est \emph{pas} sans bulles est la
$2$\nbd{}catégorie $B$ que nous avons déjà rencontrée plus haut (c'est-à-dire
le monoïde commutatif $(\mathbb{N},+)$ vu comme une $2$\nbd{}catégorie). Comme
dit précédemment, cette $2$\nbd{}catégorie n'est pas homologiquement cohérente
et cela ne semble pas être une coïncidence. Il est tout à fait remarquable que
de tous les nombreux exemples de $2$\nbd{}catégories présentés dans cette thèse, les seules qui ne sont pas homologiquement cohérentes sont exactement
celles qui ne sont \emph{pas} sans bulles. Cela conduit à la conjecture
ci-dessous, qui est le point d'orgue de la thèse.
outils qui seront présentés ne permettent pas de répondre entièrement à la
question ci-dessus, ils permmetent tout de même de détecter de tels carrés
cocartésiens dans beaucoup de situations concrètes. Il y a même une section
entière de la thèse qui consiste uniquement en une liste d'exemples détaillés
de calculs du type d'homotopie de $2$\nbd{}catégories libres en utilisant ces
outils. De ces exemples se dégage très clairement une classe particulière de
$2$\nbd{}catégories, que j'ai nommées les \og$2$\nbd{}catégories sans bulles
\fg{} et qui sont caractérisées comme suit. Pour une $2$\nbd{}catégorie,
appelons \emph{bulle} une $2$\nbd{}cellule non-triviale dont la source et le
but sont des unités sur une $0$\nbd{}cellule (nécessairement la même). Une
\emph{$2$\nbd{}catégorie sans bulles} est simplement une $2$\nbd{}catégorie
qui n'a aucune bulle. L'archétype de la $2$\nbd{}catégorie qui n'est
\emph{pas} sans bulles est la $2$\nbd{}catégorie $B$ que nous avons déjà
rencontrée plus haut (c'est-à-dire le monoïde commutatif $(\mathbb{N},+)$ vu
comme une $2$\nbd{}catégorie). Comme dit précédemment, cette
$2$\nbd{}catégorie n'est pas homologiquement cohérente et cela ne semble pas
être une coïncidence. Il est tout à fait remarquable que de tous les nombreux
exemples de $2$\nbd{}catégories présentés dans cette thèse, les seules qui ne
sont pas homologiquement cohérentes sont exactement celles qui ne sont
\emph{pas} sans bulles. Cela conduit à la conjecture ci-dessous, qui est le
point d'orgue de la thèse.
\begin{center}
\textbf{(Conjecture)} Une $2$\nbd{}catégorie libre est homologie cohérente
si et seulement si elle est sans bulles.
\end{center}
\end{named}
\end{center}
\end{named}
\begin{named}[Une vue d'ensemble]
Terminons cette introduction par un autre point
de vue sur la comparaison des homologies polygraphique et singulière.
