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correcting typos in the french introduction

parent b44763f1
......@@ -15,7 +15,7 @@ quasi\nbd{}isomorphismes).
Avant d'entrer dans le vif du sujet, précisons sans plus tarder qu'à
l'unique exception de la toute fin de cette introduction, toutes les
$\oo$\nbd{}catégories que nous considérons sont des $\oo$\nbd{}catégories
$\oo$\nbd{}catégories que nous considérerons sont des $\oo$\nbd{}catégories
\emph{strictes}. C'est pourquoi nous omettrons l'adjectif \og
strict\fg{} et parlerons simplement d'\emph{$\oo$\nbd{}catégorie} plutôt
que d'\emph{$\oo$\nbd{}catégorie stricte}. De même, nous noterons $\oo\Cat$ plutôt que
......@@ -28,7 +28,7 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ pour la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
N_{\omega} : \oo\Cat \to \Psh{\Delta}
\]
qui associe à toute $\oo$\nbd{}catégorie $C$ un ensemble simplicial
$N_{\oo}(C)$ appelé le \emph{nerf de $C$}, généralisant le nerf usuel des
$N_{\oo}(C)$, appelé le \emph{nerf de $C$}, généralisant le nerf usuel des
(petites) catégories. En utilisant ce foncteur, il est possible de transférer
la théorie de l'homotopie des ensembles simpliciaux aux $\oo$\nbd{}catégories,
comme cela est fait par exemple dans les articles
......@@ -49,30 +49,29 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ pour la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
même que la théorie de l'homotopie des espaces. Le résultat de Gagna est une
généralisation du résultat analogue pour le nerf usuel des petites catégories,
attribué à Quillen dans \cite{illusie1972complexe}. Dans le cas des petites
catégories, l'existence d'une structure de modèle dont les équivalences
faibles sont celles induites par le nerf a même été démontré par Thomason
\cite{thomason1980cat}. Le résultat analogue pour $\oo\Cat$ est toujours une
catégories, Thomason a même démontré l'existence d'une structure de modèle dont les équivalences
faibles sont celles induites par le nerf \cite{thomason1980cat}. Le résultat analogue pour $\oo\Cat$ est toujours une
conjecture \cite{ara2014vers}.
\end{named}
\begin{named}[Deux homologies pour les $\oo$-catégories]
Armé du foncteur nerf de Street, il est naturel de
définir le \emph{$k$\nbd{}ème groupe d'homologie d'une $\oo$\nbd{}catégorie
$C$} comme étant le $k$\nbd{}ème groupe d'homologie du nerf de $C$. À la
lumière du résultat de Gagna, ces groupes d'homologies sont simplement les
groupes d'homologie des espaces vus sous un autre angle. Afin d'éviter de
potentielles confusions à venir, nous appelerons désormais ces groupes
d'homologie les \emph{groupes d'homologie singulière} de $C$ et nous
utiliserons la notation $H^{\sing}_k(C)$.
Armé du foncteur nerf de Street, il est naturel de définir le
\emph{$k$\nbd{}ème groupe d'homologie d'une $\oo$\nbd{}catégorie $C$} comme
étant le $k$\nbd{}ème groupe d'homologie du nerf de $C$. À la lumière du
résultat de Gagna, ces groupes d'homologies sont simplement les groupes
d'homologie des espaces vus sous un autre angle. Afin d'éviter de potentielles
confusions à venir, nous appelerons désormais ces groupes d'homologie les
\emph{groupes d'homologie singulière} de $C$ et nous utiliserons la notation
$H^{\sing}_k(C)$.
Par ailleurs, d'autres groupes d'homologie pour les $\oo$\nbd{}catégories ont
été définis par Métayer dans \cite{metayer2003resolutions}. La définition de
D'autres groupes d'homologie pour les $\oo$\nbd{}catégories ont aussi été
définis par Métayer dans \cite{metayer2003resolutions}. La définition de
ceux-ci repose sur la notion de \emph{$\oo$\nbd{}catégorie libre sur un
polygraphe}, c'est-à-dire d'$\oo$\nbd{}catégorie obtenue de manière
récursive à partir de la
catégorie vide en attachant librement des cellules. Désormais, nous dirons
simplement \emph{$\oo$\nbd{}catégorie libre}. Il a été observé par Métayer que
toute $\oo$\nbd{}catégorie $C$ admet une \emph{résolution polygraphique},
polygraphe} (aussi connue sous le nom de \emph{computade}), c'est-à-dire
d'$\oo$\nbd{}catégorie obtenue de manière récursive à partir de la catégorie
vide en attachant librement des cellules. Désormais, nous dirons simplement
\emph{$\oo$\nbd{}catégorie libre}. Il a été observé par Métayer que toute
$\oo$\nbd{}catégorie $C$ admet une \emph{résolution polygraphique},
c'est-à-dire qu'il existe une $\oo$\nbd{}catégorie libre $P$ et un morphisme
de $\oo\Cat$
\[
......@@ -80,38 +79,38 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ pour la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
\]
satisfaisant des propriétés analogues à celles des fibrations triviales
d'espaces topologiques (ou d'ensemples simpliciaux). De plus, toute
$\oo$\nbd{}catégorie libre $P$ peut être \og abélianisée \fg{} en un complexe de
chaîne $\lambda(P)$ et il a été démontré par Métayer que pour deux résolutions
polygraphiques $P \to C$ et $P' \to
C$ d'une même $\oo$\nbd{}catégorie, les complexes de chaînes $\lambda(P)$ et $\lambda(P')$ sont
quasi-isomorphes. Ainsi, on peut définir le \emph{$k$\nbd{}ème groupe
$\oo$\nbd{}catégorie libre $P$ peut être \og abélianisée \fg{} en un complexe
de chaîne $\lambda(P)$ et il a été démontré par Métayer que pour deux
résolutions polygraphiques $P \to C$ et $P' \to C$ d'une même
$\oo$\nbd{}catégorie, les complexes de chaînes $\lambda(P)$ et $\lambda(P')$
sont quasi-isomorphes. Ainsi, on peut définir le \emph{$k$\nbd{}ème groupe
d'homologie polygraphique} de $C$, noté $H_k^{\pol}(C)$, comme étant le
$k$\nbd{}ème groupe d'homologie de $\lambda(P)$ pour n'importe quelle
résolution polygraphique $P \to C$.
Il découle de ces considérations la question suivante :
\begin{center}
A-t-on $H_{\bullet}^{\pol}(C) \simeq H_{\bullet}^{\sing}(C)$ pour toute
A-t-on $H_{\bullet}^{\pol}(C) \simeq H_{\bullet}^{\sing}(C)$ pour toute
$\oo$\nbd{}catégorie $C$ ?
\end{center}
Une première réponse partielle à cette question a été donnée par Lafont et
Métayer \cite{lafont2009polygraphic} : pour tout monoïde $M$ (vu comme une
catégorie à un seul objet, et \emph{a fortiori} comme une
$\oo$\nbd{}catégorie), on a $H_{\bullet}^{\pol}(M) \simeq
H_{\bullet}^{\sing}(M)$. Mentionnons au passage que l'homologie
polygraphique a été originellement concue pour étudier l'homologie des
monoïdes et fait partie d'un programme dont le but est de généraliser en
dimension supérieure les travaux de Squier sur la théorie de la réécriture des
monoïdes \cite{guiraud2006termination, lafont2007algebra, guiraud2009higher,
guiraud2018polygraphs}. Malgré le résultat de Lafont et Métayer, il est
remarquable que la réponse générale à la question précédente est \emph{non}.
Un contre-exemple a été découvert par Maltsiniotis et Ara. Soit $B$ le monoïde
commutative $(\mathbb{N},+)$, vu comme une $2$\nbd{}catégorie avec une seule
$0$\nbd{}cellule et pas de $1$\nbd{}cellule non-triviale. Cette
$2$\nbd{}catégorie est libre (en tant qu'$\oo$\nbd{}catégorie) et un calcul
rapide montre que:
catégorie à un seul objet, et \emph{a fortiori} comme une $\oo$\nbd{}catégorie
à un seul objet et dont toutes les cellules de dimension supérieure à $1$ sont
des unités), on a $H_{\bullet}^{\pol}(M) \simeq H_{\bullet}^{\sing}(M)$.
Mentionnons au passage que l'homologie polygraphique a été originellement
concue pour étudier l'homologie des monoïdes et fait partie d'un programme
dont le but est de généraliser en dimension supérieure les travaux de Squier
sur la théorie de la réécriture des monoïdes \cite{guiraud2006termination,
lafont2007algebra, guiraud2009higher, guiraud2018polygraphs}. Malgré le
résultat de Lafont et Métayer, il est remarquable que la réponse générale à la
question précédente est \emph{non}. Un contre-exemple a été découvert par
Maltsiniotis et Ara. Soit $B$ le monoïde commutative $(\mathbb{N},+)$, vu
comme une $2$\nbd{}catégorie avec une seule $0$\nbd{}cellule et pas de
$1$\nbd{}cellule non-triviale. Cette $2$\nbd{}catégorie est libre (en tant
qu'$\oo$\nbd{}catégorie) et un calcul rapide montre que:
\[
H_k^{\pol}(B)=\begin{cases} \mathbb{Z} &\text{ pour } k=0,2 \\ 0 &\text{
H_k^{\pol}(B)=\begin{cases} \mathbb{Z} &\text{ pour } k=0,2 \\ 0 &\text{
sinon. }\end{cases}
\]
D'autre part, Ara a démontré \cite[Theorem 4.9 and Example
......@@ -120,13 +119,14 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ pour la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
La question devient ainsi :
\begin{center}
\textbf{(Q)} Quelles sont les $\oo$\nbd{}catégories pour lesquelles $H_{\bullet}^{\pol}(C) \simeq H_{\bullet}^{\sing}(C)$?
\textbf{(Q)} Quelles sont les $\oo$\nbd{}catégories $C$ pour lesquelles
$H_{\bullet}^{\pol}(C) \simeq H_{\bullet}^{\sing}(C)$?
\end{center}
Cette précisément à cette question que tente de répondre cette thèse.
Néanmoins, le lecteur trouvera dans ce document plusieurs notions nouvelles et
résultats qui, bien qu'originellement motivés par la question ci-dessus, sont
intrinsèquement intéressantes pour la théorie des $\oo$\nbd{}catégories et
dont les raisons d'être dépassent les considérations homologiques précédentes.
dont la portée dépasse les considérations homologiques précédentes.
\end{named}
\begin{named}[Une autre formulation du problème] Un des accomplissements
du travail présenté ici est l'établissement d'un cadre conceptuel qui permet
......@@ -277,26 +277,28 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ pour la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
\begin{center}
Toute (petite) catégorie est homologiquement cohérente.
\end{center}
Afin de donner du sens à cette assertion, il faut considérer les catégories comme
des $\oo$\nbd{}catégories dont les cellules au delà de la dimension $1$ sont
des unités. Le résultat ci-dessus n'est pas pour autant trivial car pour une
résolution polygraphique $P \to C$ d'une petite catégorie $C$, la
$\oo$\nbd{}catégorie $P$, elle, n'a pas forcément que des cellules
unités au delà de la dimension 1.
Afin de donner du sens à cette assertion, il faut considérer les catégories
comme des $\oo$\nbd{}catégories dont les cellules au delà de la dimension $1$
sont des unités. Le résultat ci-dessus n'est pas pour autant trivial car pour
une résolution polygraphique $P \to C$ d'une petite catégorie $C$, la
$\oo$\nbd{}catégorie $P$, elle, n'a pas forcément que des cellules unités au
delà de la dimension 1.
En tant que tel, ce résultat est seulement une petite généralisation du
résultat de Lafont et Métayer sur les monoïdes (bien qu'il soit plus précis, même retreint aux
monoïdes, car il dit que c'est le \emph{morphisme de comparaison
canonique} qui est un isomorphisme). Mais la véritable nouveauté du résultat en
est sa démonstration qui est plus conceptuelle que celle de Lafont et Métayer. Elle
repose sur l'introduction de nouvelles notions et le développement de
nouveaux résultats; le tout s'assemblant élégamment pour finalement produire le
résultat voulu. Cette thèse a été écrite de telle façon que tous ces élements
nécessaires à la démonstration du résultat précédent sont répartis sur plusieurs chapitres; une version
plus condensée de celle-ci se trouve l'article \cite{guetta2020homology}. Parmi les
nouvelles notions développées, la plus significative est probablement celle d'$\oo$\nbd{}foncteur de Conduché discret. Un $\oo$\nbd{}foncteur $f : C \to D$
est un \emph{$\oo$\nbd{}foncteur de Conduché discret} quand pour toute cellule
$x$ de $C$, si $f(x)$ peut être décomposé en
résultat de Lafont et Métayer sur les monoïdes (bien qu'il soit plus précis,
même retreint aux monoïdes, car il dit que c'est le \emph{morphisme de
comparaison canonique} qui est un isomorphisme). Mais la véritable nouveauté
du résultat en est sa démonstration qui est plus conceptuelle que celle de
Lafont et Métayer. Elle repose sur l'introduction de nouvelles notions et le
développement de nouveaux résultats; le tout s'assemblant élégamment pour
finalement produire le résultat voulu. Cette thèse a été écrite de telle façon
que tous ces élements nécessaires à la démonstration du résultat précédent
sont répartis sur plusieurs chapitres; une version plus condensée de celle-ci
se trouve l'article \cite{guetta2020homology}. Parmi les nouvelles notions
développées, la plus significative est probablement celle
d'$\oo$\nbd{}foncteur de Conduché discret. Un $\oo$\nbd{}foncteur $f : C \to
D$ est un \emph{$\oo$\nbd{}foncteur de Conduché discret} quand pour toute
cellule $x$ de $C$, si $f(x)$ peut être décomposé en
\[
f(x)=y'\comp_k y'',
\]
......@@ -314,13 +316,12 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ pour la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
Une fois le cas de l'homologie des ($1$\nbd{})catégories complètement résolu,
il est naturel de s'intéresser aux $2$\nbd{}catégories. Contrairement au cas
des (1\nbd{})catégories, les 2\nbd{}catégories ne sont pas toutes
homologiquement cohérentes et la situation est beaucoup plus compliquée.
En premier lieu, on peut se restreindre aux
$2$\nbd{}catégories qui sont libres (en tant qu'$\oo$\nbd{}catégories) et c'est
ce qui est fait dans cette thèse. Avec cette hypothèse simplificatrice, le
problème de caractérisation des $2$\nbd{}catégories libres homologiquement
cohérentes peut être réduit à la question suivante :
soit un carré cocartésien de la forme
homologiquement cohérentes et la situation est beaucoup plus compliquée. En
premier lieu, on peut se restreindre aux $2$\nbd{}catégories qui sont libres
(en tant qu'$\oo$\nbd{}catégories) et c'est ce qui est fait dans cette thèse.
Avec cette hypothèse simplificatrice, le problème de caractérisation des
$2$\nbd{}catégories libres homologiquement cohérentes peut être réduit à la
question suivante : soit un carré cocartésien de la forme
\[
\begin{tikzcd}
\sS_1 \ar[r] \ar[d] & P \ar[d]\\
......@@ -332,31 +333,32 @@ $\mathbf{Str}\oo\Cat$ pour la catégorie des $\oo$\nbd{}catégories (strictes).
partie substantielle du travail présenté ici consiste à développer des outils
permettant de reconnaître les carrés homotopiquement cocartésiens de
$2$\nbd{}catégories relativement aux équivalences Thomason. Bien que les
outils qui seront présentés ne permettent pas de répondre
entièrement à la question ci-dessus, ils permmetent tout de même de détecter
de tels carrés cocartésiens dans beaucoup de situations concrètes. Il y a même
une section entière de la thèse qui consiste uniquement en une liste
d'exemples détaillés de calculs du type d'homotopie de $2$\nbd{}catégories
libres en utilisant ces outils. De ces exemples se dégage très clairement une
classe particulière de $2$\nbd{}catégories, que j'ai nommées les \og
$2$\nbd{}catégories sans bulles \fg{} et qui sont caractérisées
comme suit. Pour une $2$\nbd{}catégorie, appelons \emph{bulle} une
$2$\nbd{}cellule non-triviale dont la source et le but sont des unités sur une
$0$\nbd{}cellule (nécessairement la même). Une \emph{$2$\nbd{}catégorie
sans bulles} est simplement une $2$\nbd{}catégorie qui n'a aucune bulle.
L'archétype de la $2$\nbd{}catégorie qui n'est \emph{pas} sans bulles est la
$2$\nbd{}catégorie $B$ que nous avons déjà rencontrée plus haut (c'est-à-dire
le monoïde commutatif $(\mathbb{N},+)$ vu comme une $2$\nbd{}catégorie). Comme
dit précédemment, cette $2$\nbd{}catégorie n'est pas homologiquement cohérente
et cela ne semble pas être une coïncidence. Il est tout à fait remarquable que
de tous les nombreux exemples de $2$\nbd{}catégories présentés dans cette thèse, les seules qui ne sont pas homologiquement cohérentes sont exactement
celles qui ne sont \emph{pas} sans bulles. Cela conduit à la conjecture
ci-dessous, qui est le point d'orgue de la thèse.
outils qui seront présentés ne permettent pas de répondre entièrement à la
question ci-dessus, ils permmetent tout de même de détecter de tels carrés
cocartésiens dans beaucoup de situations concrètes. Il y a même une section
entière de la thèse qui consiste uniquement en une liste d'exemples détaillés
de calculs du type d'homotopie de $2$\nbd{}catégories libres en utilisant ces
outils. De ces exemples se dégage très clairement une classe particulière de
$2$\nbd{}catégories, que j'ai nommées les \og $2$\nbd{}catégories sans bulles
\fg{} et qui sont caractérisées comme suit. Pour une $2$\nbd{}catégorie,
appelons \emph{bulle} une $2$\nbd{}cellule non-triviale dont la source et le
but sont des unités sur une $0$\nbd{}cellule (nécessairement la même). Une
\emph{$2$\nbd{}catégorie sans bulles} est simplement une $2$\nbd{}catégorie
qui n'a aucune bulle. L'archétype de la $2$\nbd{}catégorie qui n'est
\emph{pas} sans bulles est la $2$\nbd{}catégorie $B$ que nous avons déjà
rencontrée plus haut (c'est-à-dire le monoïde commutatif $(\mathbb{N},+)$ vu
comme une $2$\nbd{}catégorie). Comme dit précédemment, cette
$2$\nbd{}catégorie n'est pas homologiquement cohérente et cela ne semble pas
être une coïncidence. Il est tout à fait remarquable que de tous les nombreux
exemples de $2$\nbd{}catégories présentés dans cette thèse, les seules qui ne
sont pas homologiquement cohérentes sont exactement celles qui ne sont
\emph{pas} sans bulles. Cela conduit à la conjecture ci-dessous, qui est le
point d'orgue de la thèse.
\begin{center}
\textbf{(Conjecture)} Une $2$\nbd{}catégorie libre est homologie cohérente
si et seulement si elle est sans bulles.
\end{center}
\end{named}
\end{center}
\end{named}
\begin{named}[Une vue d'ensemble]
Terminons cette introduction par un autre point
de vue sur la comparaison des homologies polygraphique et singulière.
......
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