\documentclass[12pt,a4paper]{report} \usepackage[dvipsnames]{xcolor} \usepackage[unicode,psdextra,final]{hyperref} \hypersetup{ colorlinks=true, linkcolor=Purple, citecolor=cyan, } %\usepackage{classicthesis} \usepackage{mystyle} \usepackage{times} \usepackage{sectsty} \allsectionsfont{\scshape} \iffalse %%% Watermark \usepackage{draftwatermark} \SetWatermarkText{DRAFT} \SetWatermarkScale{2} %%% \fi %%% For line numbering (used for proodreading purposes) %% \usepackage[pagewise,displaymath, mathlines]{lineno} %% \linenumbers \begin{document} \begin{titlepage} \includegraphics[width=0.4\textwidth]{logo_UP.jpg} \vspace*{1cm} \raggedleft { \scshape{\textbf{Université de Paris}} \par} \vspace{0.25cm} {\large École de Sciences Mathématiques Paris Centre (ED 386)} {Institut de Recherche Fondamentale en Informatique (IRIF)} %{\large Institut de Recherche Fondamentale en Informatique (IRIF)} \vspace*{0.25cm} {\Large \scshape \textbf{Thèse de doctorat en Mathématiques}} {\large Dirigée par François Métayer \\ et par Clemens Berger \par} \vspace*{1.25cm} \hrulefill \centering {\Huge \scshape \textbf{Homology of strict $\omega$-categories}\par} % \vspace{0.5cm} % \LARGE % Thesis Subtitle \hrulefill \vspace{0.75cm} {\Large \textbf{par Léonard Guetta}} \vfill {\slshape Présentée et soutenue publiquement le 28 janvier 2021 \\ devant un jury composé de : \par} \vspace{0.8cm} \begin{tabular}{ll} \textbf{M. Benoît Fresse} (Prof., Université de Lille) & Rapporteur \\ \textbf{M. Richard Garner} (Senior Lecturer, Macquarie University) & Rapporteur \\ \textbf{Mme Eugenia Cheng} (Prof., School of the Art Institute) & Examinatrice \\ \textbf{M. Carlos Simpson} (DR CNRS, Université de Nice) & Examinateur \\ \textbf{M. Samuel Mimram} (Prof., École Polytechnique) & Examinateur \\ \textbf{M. Georges Maltsiniotis} (DR CNRS, Université de Paris) & Examinateur \\ \textbf{M. François Métayer} (MCF, Université de Paris Nanterre) & Directeur de Thèse \\ \textbf{M. Clemens Berger} (MCF, Université de Nice) & Co--directeur de Thèse \\ \textbf{M. Dimitri Ara} (MCF, Université Aix-Marseille) & Membre invité \end{tabular} \vspace{3cm} % \includegraphics[width=0.6\textwidth]{license.png} % \vspace*{-3cm} \end{titlepage} \selectlanguage{french} \begin{abstract} Dans cette thèse, on compare l'homologie \og classique \fg{} d'une $\oo$\nbd{}catégorie (définie comme l'homologie de son nerf de Street) avec son homologie polygraphique. Plus précisément, on prouve que les deux homologies ne coïncident pas en général et qualifions d'\emph{homologiquement cohérente} les $\oo$\nbd{}catégories particulières pour lesquelles l'homologie polygraphique coïncide effectivement avec l'homologie du nerf. Le but poursuivi est de trouver des critères abstraits et concrets permettant de détecter les $\oo$\nbd{}catégories homologiquement cohérentes. Par exemple, on démontre que toutes les (petites) catégories, que l'on considère comme des $\oo$\nbd{}catégories strictes dont toutes les cellules au-delà de la dimension $1$ sont des unités, sont homologiquement cohérente. On introduit également la notion de $2$\nbd{}catégorie \emph{sans bulles} et on conjecture qu'une $2$\nbd{}catégorie cofibrante est homologiquement cohérente si et seulement si elle est sans bulles. On démontre également des résultats importants concernant les $\oo$\nbd{}catégories strictes qui sont libres sur un polygraphique, comme le fait que si $F : C \to D$ est un $\oo$\nbd{}foncteur discret de Conduché et si $D$ est libre sur un polygraphe alors $C$ l'est aussi. Dans son ensemble, cette thèse établit un cadre général dans lequel étudier l'homologie des $\oo$\nbd{}catégories en faisant appels à des outils d'algèbre homotopique abstraite, tels que la théorie des catégorie de modèles de Quillen ou la théorie des dérivateurs de Grothendieck. \bigskip \noindent\textbf{Mots-clés : } Catégories supérieures, $\oo$\nbd{}catégories, homologie, théorie de l'homotopie, polygraphes. \end{abstract} \selectlanguage{english} \begin{abstract} In this dissertation, we compare the ``classical'' homology of an $\oo$\nbd{}category (defined as the homology of its Street nerve) with its polygraphic homology. More precisely, we prove that both homologies generally do not coincide and call \emph{homologically coherent} the particular strict $\oo$\nbd{}categories for which polygraphic homology and homology of the nerve do coincide. The goal pursued is to find abstract and concrete criteria to detect homologically coherent $\oo$\nbd{}categories. For example, we prove that all (small) categories, considered as strict $\oo$\nbd{}categories with unit cells above dimension $1$, are homologically coherent. We also introduce the notion of \emph{bubble-free} $2$\nbd{}category and conjecture that a cofibrant $2$\nbd{}category is homologically coherent if and only if it is bubble-free. We also prove important results concerning free strict $\oo$\nbd{}categories on polygraphs (also known as computads), such as the fact that if $F : C \to D$ is a discrete Conduché $\oo$\nbd{}functor and $D$ is a free strict $\oo$\nbd{}category on a polygraph, then so is $C$. Overall, this thesis achieves to build a general framework in which to study the homology of strict $\oo$\nbd{}categories using tools of abstract homotopical algebra such as Quillen's theory of model categories or Grothendieck's theory of derivators. \bigskip \noindent\textbf{Keywords : } Higher categories, $\oo$\nbd{}categories, homology, homotopy theory, polygraphs. \end{abstract} \tableofcontents \include{remerciements} \include{introduction} \include{introduction_fr} \include{omegacat} \include{homtheo} \include{hmtpy} \include{hmlgy} \include{contractible} \include{2cat} \addcontentsline{toc}{chapter}{Bibliography} \bibliographystyle{alpha} \bibliography{memoire} \end{document} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: t %%% End: